Problemino teoria dei numeri

[bestiedda]

trovare tutti i valori interi positivi di a per cui la frazione $(a^3+2)/(a+1)$ sia un numero intero



io ho buttato giù una soluzione ma non so se è giusta:


$(a^3+2)/(a+1) = ((a+1)(a^2-a+1))/(a+1) + 1/(a+1) = a^2 -a +1 + 1/(a+1)$
poichè a è intero, l'espressione $a^2 -a +1$ avrà valore intero, di conseguenza la frazione iniziale ha valore intero se $1/(a+1)$ è intero; l'unica soluzione possibile è perciò $a+1=1$ quindi $a=0$


è giusta? scusate gli eventuali strafalcioni ma è la prima volta che mi cimento in problemi di questo tipo

[TomSawyer1]

$a^3+2 \ne (a+1)(a^2-a+1)$.

[MaMo2]

"bestiedda":
...
è giusta? scusate gli eventuali strafalcioni ma è la prima volta che mi cimento in problemi di questo tipo

A me sembra giusta.

[Domè891]

"TomSawyer":$a^3+2 \ne (a+1)(a^2-a+1)$.

no infatti è diversa, ma ha aggiunto $1/(a+1)$ apposta per far tornare calcoli...

anche a me sembra corretta...

ciao

[TomSawyer1]

Vero, non l'avevo neanche guardata

[bestiedda]

se volete postate soluzioni alternative! più soluzioni leggo, più strumenti acquisisco!

[TomSawyer1]

O, usando le proprieta' del massimo comun divisore, $\gcd(a^3+2,a+1)=\gcd(-a^2+2,a+1)=\gcd(a+2,a+1)=a+1$, che e' soddisfatta solo per $a=0$.

[vict85]

"TomSawyer":O, usando le proprieta' del massimo comun divisore, $\gcd(a^3+2,a+1)=\gcd(-a^2+2,a+1)=\gcd(a+2,a+1)=a+1$, che e' soddisfatta solo per $a=0$.

Veramente non è necessario usare le proprietà... il massimo comun divisore è ovvio.

$a^3+2$ e $a+1$ sono irriducibili in $ZZ[a]$ quindi si ha che $\gcd(a^3+2,a+1) = 1$.
Per avere $(a^3+2)/(a+1)$ deve aversi $\gcd(a^3+2,a+1) = a + 1$
Quindi $a+1 = 1\ \ ->\ \ a = 0$

[Bruno13]

Un'altra riscrittura, più che altro per salutarvi

Bestiedda, mi sembra, chiedeva di concentrarsi sui valori
positivi di $a$. In tal caso avremmo sempre:

$a(a-1)+1<(a^3+2)/(a+1)
Volendo invece $a=0$, la seconda disuguaglianza diventerebbe
un'identità ($2=2$).

Comunque la sostanza è la stessa

[bestiedda]

rilancio con un altro problema

trovare tutti gli interi $x,y,z$ per cui $x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz$ non ne cavo piedi



$ciao$

[TomSawyer1]

Discesa infinita. Cioè prima osservi che $x,y,z$ sono tutti pari (altrimenti, se solo uno di quelli fosse pari, la parte destra sarebbe divisibile per $4$ e la sinistra solo per $2$), quindi $x=2x_1,y=2y_1,z=2z_1$ e hai $x_1^2+y_1^2+z_1^2=4x_1y_1z_1$, e con lo stesso ragionamento arrivi ad avere $x=2x_1=2^2x_2=2^3x_3=...$, cioè divisibile per $2^n$, con $n$ intero grande a piacere. Lo stesso discorso anche per $y$ e $z$. Dunque le uniche soluzioni sono $x=y=z=0$.

Rilancio con uno un po' più difficile: provare che l'equazione $x^2+y^2+z^2=kxyz$ ha infinite soluzioni negli interi solo per $k=1$ o $k=3$.

[Bosch1]

Non vorrei dire stupidaggini, ma ho concluso che: banalmente lo zero verifica l'equazione, quindi, data l'equazione, ne deriva che deve accadere x^2+y^2=z(xy-z)>0, y^2+z^2=x(yz-x)>0 ed x^2+y^2=y(xz-y)>0; quindi, subito (z/y)<=x<=(y/z), per ogni scelta di y e z negli interi e coì pure per y ed z facendo variare oppurtnamente le altre due variabili ntere ogni volta, da cui si deduce che ogni soluzione intera di x, y e z compresa tra le coppie di reciproci va bene; il discorso è analogo per K=3; non sono ancora riuscito a determinare, però, il "solo" (ammesso che ho fatto bene questo), cioè a dimostrare che per gli altri valori di k non ho infinite soluzioni ( a parte k=2, già dimostrato prima

Scusate se il testo apparirà strano ma sto cercando di capire come is usa l'editor per fare i simboli.

[Bosch1]

Ms come si fa ad usare i simboli in blu, molto elganti (sembrano queli di latex), che usate voi!!!!??? sigh

[gugo82]

"Bosch":Ms come si fa ad usare i simboli in blu, molto elganti (sembrano queli di latex), che usate voi!!!!??? sigh

Guarda un po' qui.

[Bosch1]

Grazie molte!!