Problemino del Lunedi'

[Mistral2]

Premetto che questo problemino l'ho pescato al volo on-line e non ne so la soluzione quindi la gara è aperta anche a me, se ci state.

Siano m ed n interi positivi.
Siano a1,a2,...,am elementi distinti dell'insieme {1,2,3,...,n} tali che ogni qualvolta ai+aj= Provare che:
(a1+a2+....+am)/m>=(n+1)/2

Saluti

Mistral

[Principe2]

provo a dare una soluzione. a te il giudizio:

ci avvaliamo del seguente
Lemma:
[a(1) + ... + a(m-1)]/(m-1) - [a(1)+....+a(m-1)+a(m)]/m <=0
dimostrazione:
facendo il minimo comune multiplo si ha:
[a(1)+....+a(m-1)-a(1)*(m-1)-...-a(m-1)*(m-1)-a(m)*(m-1)]/m(m-1)
ovviamente dove non c'è "*" vuol dire che la parentesi indica l'indice.
l'espressione precedente equivale alla seguente:
[a(1)+...+a(m)-m*a(m)]/m(m-1)
essendo a(m)=max(a(1)...a(m) allora
m*a(m)>=a(1)+...+a(m)
poichè il denominatore è positivo, allora si ha la tesi.

procediamo ora con la dimostrazione dell'esercizio da te posto.
procediamo per induzione:
se abbiamo due elementi che verificano le condizioni dell'esercizio, allora a(1)+a(2)>n, perchè altrimenti potrei trovare un terzo elemento. la condizione precedente equivale alla seguente
a(1)+a(2)-n>0
poichè siamo nei naturali, il minimo per questa differenza è 1; ne consegue che:
a(1)+a(2)-n>=1, quindi a(1)+a(2)>= n+1, quindi [a(1)+a(2)]/2>=(n+1)/2
supponiamo ora, per ipotesi induttiva, che
[a(1)+...+a(m-1)]/(m-1)>=(n+1)/2
applicando il lemma abbiamo:
[a(1)+...+a(m)]/m >= [a(1)+...+a(m-1)]/(m-1) >= (n+1)/2
nota: la diseguaglianza tra secondo e terzo membro deriva dall'ipotesi induttiva.
ne consegue che, applicando la proprietà transitiva, si ha:
[a(1)+...+a(m)]/m >= (n+1)/2

bene... non so se ho fatto qualche errore sottile (spesso capita utilizzando il principio di induzione), ma questo è il massimo che sono riuscito a fare.

Saluti, ubermensch

p.s. questo quesito mi ha divertito moltissimo!

[Mistral2]

citazione:

---

bene... non so se ho fatto qualche errore sottile (spesso capita utilizzando il principio di induzione), ma questo è il massimo che sono riuscito a fare.

Saluti, ubermensch

p.s. questo quesito mi ha divertito moltissimo!

---

Premessa, è facile criticare il lavoro degli altri, molto meno facile e impostare la soluzione partendo da un foglio bianco. Fatta la premessa faccio il lavoro piu' facile cioe' la critica anche perche' una soluzione mia non la ho ancora .

Osservazione

Data un insieme di numeri che rispetta le proprietà dell'esercizio applicando opportune permutazioni è sempre possibile metterlo in ordine crescente:

0
Una volta riscritto l'insieme di numeri in questa forma "ordinata" se a(i)+a(j)=j dato che a(k)>a(j)>=a(i).
Fissato n, si procede per induzione su m.
Il caso m=2 è chiaro.

Assumendo che la proprietà della media vera per m, si tratta di dimostrare la stessa proprietà per m+1, solo che data:

1)a(1)<..
che verifica le ipotesi, allora

2)a(1)<..
verifica le stesse ipotesi?

direi di no... infatti se ad esempio a(m-2)+a(m-1)= In ogni caso il lemma non richiede di rispettare la definizione però l'ipotesi di induzione, essenziale per trarre le conclusioni che trai.

Quindi forse nella tua dimostrazione c'e' un problema che va indagato come la vedi?

Ciao

Mistral



Modificato da - Mistral il 17/02/2004 14:16:37

Modificato da - Mistral il 17/02/2004 14:18:21

Modificato da - Mistral il 17/02/2004 14:19:42

[Principe2]

come supponevo la questione è piuttosto sottile. lasciami un po di tempo per rifletterci.
a dopo, ubermensch

[Principe2]

mmm.. la cosa è più dura del previsto!
ho abbandonato, a dispetto del proverbio, la vecchia strada per una nuova:
ti posto la dimostrazione del caso m pari, che mi sembra corretta.
per m dispari sono ancora lontano:

ti faccio come esempio il caso m=4
abbiamo a(1),a(2),a(3),a(4)
con, evidentemente, a(1)+a(2)=a(3) e a(1)+a(3)=a(4);
infatti, poichè i numeri sono in ordine crescente, questa è l'unica opportunità che si ha;
se ne deduce che a(1)+a(4)>n e a(2)+a(3)>n
sommando membro a membro si ottiene:
a(1)+a(2)+a(3)+a(4)>2n=4n/2
quindi
[a(1)+a(2)+a(3)+a(4)]/4 - n/2 > 0
poichè siamo nei naturali si ha:
[a(1)+..+a(4)]/4 - n/2>=1 se n è pari
oppure
[a(1)+..a(4)]/4 - n/2 >=1/2 se n è dispari
possiamo compendiare le due precedenti diseguaglianze nella seguente:
[a(1)+..+a(4)]/4 - n/2 >=1/2, che equivale alla tesi.

passo al caso generale; sia m pari abbiamo:
a(1)....a(m)
dalle considerazioni precedenti è necessario che:
a(1)+a(m)>n
a(2)+a(m-1)>n
....
....
a(m/2)+a(m/2+1)>n
sommmando tutto quanto membro a mebro si ottiene:
a(1)+...+a(m)>m*n/2, ovvero:
[a(1)+..+a(m)]/m - n/2>0
poichè stiamo nei naturali, facendo le stesse considerazioni precedenti, possiamo concludere che, sia se n è pari che se n è dispari, allora sicuramente:
[a(1)+...+a(m)]/m - n/2>=1/2
che equivale alla tesi.

a me sembra giusta..

ciao, ubermensch

[Mistral2]

citazione:

---

Siano m ed n interi positivi.
Siano a1,a2,...,am elementi distinti dell'insieme {1,2,3,...,n} tali che ogni qualvolta ai+aj= Provare che:
(a1+a2+....+am)/m>=(n+1)/2

---

Ecco al soluzione che mi è venuta in mente:

Senza perdere di generalità possiamo riordinare l'insieme di m numeri distinti in modo che:

0
Definisco quindi S(i,j)=a(i)+a(j) con j>=i si noti che S(i,j)=S(h,k) implica che i=h e j=k dato l'ordine stretto dato alla sequenza di numeri. Inoltre supponendo di scrivere gli S(i,j) come gli elementi di una matrice triangolare superiore risulta relativamente facile verificare che la sommatoria St di tutti gli S(i,j) è data da:

St=(m+1)(a(1)+a(2)+...+a(m))

Il numero totale degli S(i,j) è dato da m(m+1)/2 e di questi almeno
m(m-1)/2=m(m+1)/2-m devono eccedere il valore n in quanto abbiamo solo m elementi, segue che abbiamo la seguente minorazione per la sommatoria St:

St>=m(m-1)(n+1)/2+2m

confrontando con la precedente abbiamo che
(a(1)+a(2)+...+a(m))/m>=(m-1)(n+1)/(m+1)2+2/(m+1)

dato che abbiamo a che fare con numeri interi e il caso di m=<2 è gia stato dimostrato da ubermensch, si ha che il piu' piccolo numero intero maggiore di (m-1)(n+1)/(m+1)2+2/(m+1) è proprio (n+1)/2 da cui l'asserto:

(a(1)+a(2)+...+a(m))/m>=(n+1)/2

Come la vedete?

Ciao

Mistral

Ok Ok ancora imperfetta da rivedere leggermente adesso ci penso



Modificato da - Mistral il 17/02/2004 21:03:59

Ecco una possibile sistemazione:

almeno m(m-1)/2 dei possibili S(j,j) eccede n, i restanti m sommati danno almeno come totale m(m+1)/2, cioè pari alla somma dei numeri da 1 ad m, quindi abbiamo che

St>=m(m-1)(n+1)/2+m(m+1)/2

quindi

(a(1)+a(2)+...+a(m))/m>=((m-1)/(m+1)+1)(n+1)/2>(n+1)/2

Ri-Ciao

Mistral







Modificato da - Mistral il 17/02/2004 21:45:59

Ok ancora risbagliato vado a vedermi la tele



Modificato da - Mistral il 17/02/2004 21:50:34

[Principe2]

non capisco mistral. prima che comincio a studiarmi la tua dimostrazione: è sbagliata?

[Mistral2]

citazione:

---

non capisco mistral. prima che comincio a studiarmi la tua dimostrazione: è sbagliata?

---

incompleta

[Principe2]

credo d'aver dimostrato anche il caso dispari:
mi serve, anche in questo caso, un lemma:
siano a(1)...a(m) naturali che rispettano le suddette condizioni, se m è dispari, allora a((m+1)/2) > n/2
dimostrazione:
siano a(1)...a((m-1)/2) tutti gli elementi precedenti ad a((m+1)/2); supponiamo per assurdo che a((m+1)/2) < n/2; allora potrei fare:

1) a((m+1)/2) + a((m-1)/2)
2) a((m+1)/2) + a((m-3)/2)
....
....
....
a((m+1)/2) + a(2)
a((m+1)/2) + a(1)

e tali (m-1)/2 elementi sono tutti maggiori di a((m+1)/2)
consideriamo ora le seguenti somme:

a((m-1)/2) + a((m-3)/2)
a((m-1)/2) + a((m-5)/2)
...
...
...
a((m-1)/2) + a(2)
a((m-1)/2) + a(1)

tutte queste somme sono tra loro diverse quindi, essendo (m-3)/2, almeno (m-5)/2 devono essere maggiori di a((m+1)/2); in particolare, l'unica che può eguagliarla è l'ultima.
dimostriamo ora che esiste almeno una somma della seconda serie diversa da tutte quelle della prima serie.
osserviamo ora che le prime tre somme della prima serie sono tutte sicuramente maggiori di tutte quelle della seconda serie
pertanto nella prima serie rimangono solo (n-7)/2 somme; mentre nella seconda ne ho (n-5)/2 tutte diverse; ne consegue che, essendoci una somma in più nella seconda serie, almeno una di queste deve essere diversa da tutte quelle della prima serie.
ma a questo punto, dopo tanto soffrire, siamo arrivati ad un assurdo, in quanto ho (m-1)/2 termini minori di a((m+1)/2)
ne ho (m-1)/2 maggiori, ho il termine a((m+1)/2) ed ho un altro termine che ho trovato (quello che avanza). se vado a sommare ottengo m+1 termini che è un assurdo in quanto avevo supposto di averne m.
ne consegue che deve risultare a((m+1)/2) > n/2

a questo punto possiamo procedere nel seguente modo:

abbiamo a(1)...a(m), con m dispari, che verificano le precedenti ipotesi. deve risultare, ovviamente:
a(1)+a(m) > n
a(2)+a(m-1)>n
...
...
a((m-1)/2) + a((m+3)/2 > n
inoltre, per quel benedetto lemma, si ha:
a((m+1)/2) > n/2

sommando tutti i membri si ottiene:

a(1)+...+a(m)>(m-1)/2 * n - n/2

da cui:

[a(1)+..+a(m)]/m > n/2

poichè siamo nei naturali, per le considerazioni fatte nel caso di m pari, si ha:

[a(1)+...+a(m)]/m > (n+1)/2

mi sembra che vada tutto bene!

p.s. spero che riuscirai presto a risolvere il tuo problema: sarebe curioso che risolvessimo un problemma abbastanza difficile utilizzando due approcci completamente differenti.

ciao, ubermensch

[Mistral2]

citazione:

---

.....
ti faccio come esempio il caso m=4
abbiamo a(1),a(2),a(3),a(4)
con, evidentemente, a(1)+a(2)=a(3) e a(1)+a(3)=a(4);
infatti, poichè i numeri sono in ordine crescente, questa è l'unica opportunità che si ha;
se ne deduce che a(1)+a(4)>n e a(2)+a(3)>n
....

---

Scusa se ci metto un po' a rispondere ma durante la settimana mi guadagno il pane non con la matematica . Il caso dispari non l'ho ancora letto con attenzione.

Ho isolato il pezzo che non capisco e ti faccio un contro esempio numerico che non concorda con la prima parte di quello che scrivi sopra:
n=8,m=4
a(1)=3
a(2)=4
a(3)=6
a(4)=7

a(1)+a(2)=7=a(4)<>a(3)=6
a(1)+a(3)=9>8=n<>a(4)=7
a(2)+a(3)=10>8=n
a(2)+a(4)=11>8=n
a(3)+a(4)=13>8=n

comunque probabilmente lo puoi sistemare...

Ciao

Mistral

[Principe2]

il tuo esempio è corretto! il fatto è che ero partito da due numeri e avevo ricavato gli altri due, perdendo in generalizzazione!
tuttavia ciò non inficia affatto il punto cruciale; ovvero che
a(1)+a(4)>n
e
a(2)+a(3)>n
infatti se a(1)+a(2)<=n allora esisterebbe a(5)
d'altra parte, se a(2)+a(3)<=n, allora a(2)+a(3)=a(4)
e che fine fa a(1)+a(3) che è evidentemente diverso da a(2)+a(3) e maggiore di a(3)?

ciao, ubermensch

p.s. magari se mi mandi un pò di pane... ho la nutella ma ho finito il pane

[Mistral2]

citazione:

---

il tuo esempio è corretto! il fatto è che ero partito da due numeri e avevo ricavato gli altri due, perdendo in generalizzazione!
tuttavia ciò non inficia affatto il punto cruciale; ovvero che
a(1)+a(4)>n
e
a(2)+a(3)>n
infatti se a(1)+a(2)<=n allora esisterebbe a(5)
d'altra parte, se a(2)+a(3)<=n, allora a(2)+a(3)=a(4)
e che fine fa a(1)+a(3) che è evidentemente diverso da a(2)+a(3) e maggiore di a(3)?

ciao, ubermensch

p.s. magari se mi mandi un pò di pane... ho la nutella ma ho finito il pane

---

La nutella fa uscire i brufoli e fa ingrassare
a seconda della età scegli una delle due opzioni o entrambe.

Mi sembra che funzioni il caso m=4, sulla generalizzazione ad m qualsiasi mi sembra ci siano ancora dei problemi:

(m=4)

2a(1) sono 4 numeri distinti e se fosse a(1)+a(4)=n.

2a(2) a(2)+a(4)>a(1)+a(4)>n se fosse a(2)+a(3)= a(1)+a(3)n

quindi a(1)+a(2)+a(3)+a(4)>2*4 da cui il risultato per m=4.

Per m qualsiasi direi che il ragionamento fila comunque in questo modo:

2*a(1)n altrimenti si eccede m.
2*a(2) a(2)+a(m-1)=a(1)+a(m-1)si eccederebbe di nuovo m quindi a(2)+a(m-1)>n.

Ecco dove forse sorge il problema per capirlo scrivo il caso successivo:

2*a(3) a(3)+a(m-1)>a(2)+a(m-1)>n) per dedurre che non può essere
a(3)+a(m-2)>n bisognerebbe poter affermare che
a(3)+a(m-2)>a(1)+a(m-1) come fai mi sfugge?


boh!

Ciao

Mistral

PS ora mi metto a sistemare la mia soluzione.

[Principe2]

scusa se ho saltato il passaggio: in effetti è meno chiaro di quanto pensassi a prima occhiata;
faccio il seguente ragionamento:

consideriamo:

a(1)+a(m-2) < a(2)+a(m-2) < a(3)+a(m-2)

il primo membro è o maggiore di n (e in questo caso anche l'ultimo è maggiore, quindi non abbiamo nessun problema), oppure è uguale ad a(m-1); in quest'ultimo caso passiamo al secondo membro, che è evidentemente maggiore del primo; quindi o è maggiore di n (in questo caso va tutto bene), oppure è uguale ad a(m); in quest'ultimo caso, essendo il terzo membro strettamente maggiore del primo, avrei un numero maggiore di a(m); se questo numero fosse minore di n, allora doveri avere un altro termine, ma questo è assurdo, perchè ho supposto di averne m; quindi deve essere maggiore di n.
con un ragionamento analogo, si deducono anche gli altri casi.

ciao, ubermensch

[Mistral2]

citazione:

---

scusa se ho saltato il passaggio: in effetti è meno chiaro di quanto pensassi a prima occhiata;
faccio il seguente ragionamento:

consideriamo:

a(1)+a(m-2) < a(2)+a(m-2) < a(3)+a(m-2)

il primo membro è o maggiore di n (e in questo caso anche l'ultimo è maggiore, quindi non abbiamo nessun problema), oppure è uguale ad a(m-1); in quest'ultimo caso passiamo al secondo membro, che è evidentemente maggiore del primo; quindi o è maggiore di n (in questo caso va tutto bene), oppure è uguale ad a(m); in quest'ultimo caso, essendo il terzo membro strettamente maggiore del primo, avrei un numero maggiore di a(m); se questo numero fosse minore di n, allora doveri avere un altro termine, ma questo è assurdo, perchè ho supposto di averne m; quindi deve essere maggiore di n.
con un ragionamento analogo, si deducono anche gli altri casi.

ciao, ubermensch

---

Ok hai dimenticato di dire che:
Se a(1)+a(m-2)= a(1)+a(m-2)=a(m-1) (la tua conclusione)
oppure
a(1)+a(m-1)=a(m) caso possibile se a(1)+a(m-1)>n (spiega meglio questo pezzo).

Poi:

Sarebbe da generalizzare al caso generico io vedo ancora due problemi probabilmente risolvibili:
a) farlo generalizzando il procedimento che mi hai appena mostrato
b) salti da a(2)+a(m-1)>n ad a(m/2)+a(m/2+1)>n senza spiegare il divisore 2?
Scatta l'indice di 1 a sinistra avanti e di 1 a destra indietro ogni passo. Il passo generico è dimostrare che:
a(1+j)+a(m-j)>n
Se m è pari ci si ferma quando (m-j)-(1+j)=1 cioè quando j=m/2-1, l'ultima disuguaglianza è:
a(m/2)+a(m/2+1)>n
se m è dispari ci si ferma quando (m-j)-(1+j)=0 cioè quando j=(m-1)/2
l'ultima disuguaglianza è:
a((m-1)/2)+a((m-1)/2)=2*a((m-1)/2)>n
Perchè la trascuri? Insomma è necessario veramente differenziare m dispari con m pari?Perchè?

Dato che la tua dimostrazione ha l'aria di essere giusta ed molto carina come sequenza di ragionamento, sarebbe utile riscriverla perchè il duetto che stiamo facendo rende le cose molto criptiche anche se divertenti per noi due. Se hai voglia di farlo delineando bene le deduzioni..., non mi fraintendere è normale scrivere le dimostrazioni di getto, però poi per comunicarle non fa male rileggere per vedere se ci sono assunzioni arbitrarie e per dimostrare eventuali conclusioni intermedie non immediatamente evidenti. Vedi il caso della mia dimostrazione sbagliata piena di assunzioni arbitrarie .

Ho dimenticato di dire la sorgente del problema:
Una Olimpiade della Matematica e questo era UNO dei SEI problemi dati , proposto tra l'altro dalla Francia.
Per questo motivo ritengo ci debba essere una soluzione piu' corta, comunque sono poco informato sulla difficoltà dei quesiti che si danno alle Olimpiadi di Matematica. Mi viene voglia di proporre gli altri 5 una volta risolto questo.

Ciao

Mistral

[Principe2]

da quello che ho capito devo scrivere una sorta di bella copia della dimostrazione del caso pari.
premetto che, procedendo nel mio modo, ovvero sommando gli elementi simmetrici rispetto agli estremi: a(1)+a(m), a(2)+a(m-1)...
la distinzione tra m pari ed m dispari viene fuori da sola, perchè nel secondo caso, rimane l'elemento di mezzo a((m+1)/2)!

comunque...

citazione:

---

Siano m ed n interi positivi.
Siano a1,a2,...,am elementi distinti dell'insieme {1,2,3,...,n} tali che ogni qualvolta ai+aj= Provare che:
(a1+a2+....+am)/m>=(n+1)/2

---

dimostrazione del caso m pari:

osserviamo che, essendo gli elementi a(1)...a(m) naturali distinti è sempre possibile, con opportune permutazioni, disporli in ordine crescente. fatto questo abbiamo:

a(1)+a(m)>n,
perchè se fosse minore od uguale ad n avrei un altro elemento e ciò contraddice l'ipotesi che ne abbia solo m

a(2)+a(m-1)>n,
infatti, consideriamo le seguenti diseguaglianze:
a(1)+a(m-1) se la prima diseguaglianza è maggiore di n, allora lo è anche la seconda. se la prima diseguaglianza è minore o uguale di n, allora è a(m), ma a questo punto la seconda deve essere maggiore di n, perchè se fosse minore od uguale, essendo strettamente maggiore della prima, avrei un altro elemento, in contraddizione con l'ipotesi.

a(3)+a(m-2)>n
infatti, consideriamo le seguenti diseguaglianze:
a(1)+a(m-2) e si faccia lo stesso ragionamento di prima a partire dal primo membro.

procedendo in tal modo, la somma di tutte le coppie equidistanti
dagli estremi risulta maggiore di n; e si ha:

a(1)+a(m)>n
a(2)+a(m-1)>n
....
....
a(m/2)+a(m/2+1)>n

infatti l'ultima coppia è data dall'elemento medio e dal seguente.

sommando membro a membro si ottiene:

a(1)+...+a(m)>m*n/2

ovvero:

[a(1)+...+a(m)]/m - n/2 >0

poichè siamo nei naturali, il minimo per questa differenza può essere 1/2 se n è dispari, 1 se n è pari; tali risultati si compendiano nel seguente:

[a(1)+...+a(m)]m - n/2 >= 1/2

che e quivale alla tesi.

mi sembra chiarissima.

p.s. hai guardato il caso dispari?

ciao, ubermensch

[Mistral2]

citazione:

---

....
a(3)+a(m-2)>n
infatti, consideriamo le seguenti diseguaglianze:
a(1)+a(m-2) e si faccia lo stesso ragionamento di prima a partire dal primo membro.
...

---

Quello che volevo dirti e probabilmente mi sono spiegato male e che io l'avrei scritta cosi':
Supponiamo per assurdo che
a(1)+a(m-2) abbiamo almeno un numero eccedente gli m disponibili e questo non puo' che essere a(3)+a(m-2) essendo il piu' grande

Se ora è vero che a(1+k)+a(m+k)>n per k a(1)+a(m-j) di nuovo abbiamo almeno un numero eccedente gli m disponibili e questo non puo' che essere a(1+j)+a(m-j), quindi a(1+j)+a(m-j)>n.

tutto qua il mio commento ma è questione di gusti .

citazione:

---

procedendo in tal modo, la somma di tutte le coppie equidistanti
dagli estremi risulta maggiore di n; e si ha:

a(1)+a(m)>n
a(2)+a(m-1)>n
....
....
a(m/2)+a(m/2+1)>n

infatti l'ultima coppia è data dall'elemento medio e dal seguente.

sommando membro a membro si ottiene:

a(1)+...+a(m)>m*n/2

ovvero:

[a(1)+...+a(m)]/m - n/2 >0

poichè siamo nei naturali, il minimo per questa differenza può essere 1/2 se n è dispari, 1 se n è pari; tali risultati si compendiano nel seguente:

[a(1)+...+a(m)]m - n/2 >= 1/2

---

Di nuovo nella mia precedente nota non mi sono spiegato bene.
Se m pari vale quello che tu hai scritto se invece m è dispari comunque si ha:
a(1)+a(m)>n
a(2)+a(m-1)>n
....
....
a((m-1)/2)+a((m+3)/2)>n
a((m+1)/2)+a((m+1)/2)>n

sommando membro a membro hai

a(1)+...+a(m)>(m+1)*n/2-a((m+1)/2)
a((m+1)/2) quindi
a(1)+...+a(m)>(m-1)*(n+1)/2

quindi quello che volevo dire e che trattare il caso m dispari a puo' essere superfluo

Ciao

Mistral







PS corrette alcune imprecisioni




Modificato da - Mistral il 19/02/2004 21:25:19

[Principe2]

hai perfettamente ragione: la tua prima parte è un pò più rigorosa della mia; per quanto riguarda il caso dispari, ora che guardo bene, la mia dimostrazione che a((m+1)/2) deve essere maggiore di n/2 è una complicata variante del metodo che abbiamo utilizzato negli altri casi, e quindi è lecito assumere, senza troppi arzigogoli, che a((m+1)/2)>n/2. comunque sia, anche se le dimostrazioni possono essere unificate, bisogna fare una piccola distinzione; quello che voglio dire è che, all'interno della dimostrazione, dopo aver fatto tutte quelle somme, occorre osservare che per m pari succede questo, per m dispari succede quest'altro, ma, in entrambi i casi succede a(1)+...+a(m) > m*n/2...

bene... credo che il problema è definitivamente risolto!

ciao, ubermensch

[Mistral2]

citazione:

---

hai perfettamente ragione: la tua prima parte è un pò più rigorosa della mia; per quanto riguarda il caso dispari, ora che guardo bene, la mia dimostrazione che a((m+1)/2) deve essere maggiore di n/2 è una complicata variante del metodo che abbiamo utilizzato negli altri casi, e quindi è lecito assumere, senza troppi arzigogoli, che a((m+1)/2)>n/2. comunque sia, anche se le dimostrazioni possono essere unificate, bisogna fare una piccola distinzione; quello che voglio dire è che, all'interno della dimostrazione, dopo aver fatto tutte quelle somme, occorre osservare che per m pari succede questo, per m dispari succede quest'altro, ma, in entrambi i casi succede a(1)+...+a(m) > m*n/2...

bene... credo che il problema è definitivamente risolto!

ciao, ubermensch

---

Anche se a queste cose uno puo' pensarci solo negli scampoli di tempo direi che comunque non era proprio facile.

Adesso comincio anche convincermi che la tua strada per la soluzione sia in effetti la più semplice da seguire, perchè in effetti il mio tentativo di soluzione cerca allo stesso modo di stabilire un certo numero di somme per cui S(i,j)=a(i)+a(j)>n, solo che facevo una assunzione che ne trovava troppe (cerco sempre il colpo di scena che in due passaggi risolve ), andando a migliorare le cose si arriva alla fin fine alla strada che tu hai seguito. Il tutto poi è legato ai concetti di relazione d'ordine, costruendo per m=5 la tabella triangolare delle somme come indicato sotto
a(1)+a(1)
a(2)+a(1) a(2)+a(2)
a(3)+a(1) a(3)+a(2) a(3)+a(3)
a(4)+a(1) a(4)+a(2) a(4)+a(3) a(4)+a(4)
a(5)+a(1) a(5)+a(2) a(5)+a(3) a(5)+a(4) a(5)+a(5)
si può notare che ci sono sempre almeno 9 numeri distinti(basta muoversi verticalmente da a(1)+a(1) ad a(5)+a(1) e poi orizzontalmente fino ad a(5)+a(5)). La dimostrazione fatta del quesito sostanzialmente trova diverse catene di 9 numeri distinti in ordine crescente, e sfutta il fatto che avendo al piu' 5 numeri solo 4 di questi possono essere inferiori ad n. Chi vuole può identificare il vari percorsi a scale fatti sulla tabella per dimostrare a(1)+a(5)>n,a(2)+a(4)>n,a(3)+a(3)>n.

Saluti

Mistral

PS chi vuole un'altro quesito? okkio rispondete a vostro riskio e perikolo .

[Principe2]

se è sempre di questo genere, postane un altro!

p.s. apri un altro topic che sta diventando troppo lungo questo.

ciaqo, ubermensch