Problemino del Lunedi'-2

Mistral2
Sempre da una Olimpiade della matematica....mi sembra abbordabile

Determinare tutte le coppie ordinate di interi (m,n) positivi tali che:
(n^3+1)/(mn-1) è un intero.

Di questo ho una soluzione che mi sembra funzioni...

Ciao

Mistral
Mi ero dimenticato di scrivere POSITIVI :) quindi domanda tutt'altro che cretina!



Modificato da - Mistral il 23/02/2004 21:32:48

Risposte
Principe2
una domanda cretina: per interi si intendono anche i negativi vero?

Mistral2
Qualcuno ci sta pensando o volete la soluzione?

Principe2
io un po ci ho riflettutto, ma non ho trovato niente di meglio che una formuletta che mi dà infinite coppie... ma non credo che le dia tutte:

n=(k+1)/(km-1) dove, per ogni k, occorre imporre che n sia naturale

es: per k=2 si ha 3/2m-1 che è naturale per m=1 e m=2, avendosi n=3 e n=1; si hanno quindi le due coppie (1,3) e (2,1)

ciao, ubermensch

Mistral2
citazione:

io un po ci ho riflettutto, ma non ho trovato niente di meglio che una formuletta che mi dà infinite coppie... ma non credo che le dia tutte:

n=(k+1)/(km-1) dove, per ogni k, occorre imporre che n sia naturale

es: per k=2 si ha 3/2m-1 che è naturale per m=1 e m=2, avendosi n=3 e n=1; si hanno quindi le due coppie (1,3) e (2,1)

ciao, ubermensch





Oopsss rileggendo la soluzione che avevo pensato mi sono accorto di un errore...

Ecco alcuni fatti comunque veri:

Comunque siano m ed n valgono le seguenti:
MCD(mn-1,n+1)=MCD(m+1,n+1).
(n^3+1)=(n+1)*(n^2-n+1)=(n+1)*((n+1)^2-3n)e risulta MCD(n+1,n^2-n+1)=1
Per cui posto d=MCD(mn-1,n+1)=MCD(m+1,n+1) e
m+1=k*d e n+1=h*d risulta che MCD(h,k)=1.
Siccome mn-1=(m+1)*n-(n+1)=(k*n-h)*d inoltre MCD(k*n-h,h)=1
Inoltre:
(n^3+1)/(mn-1)=h*(n^2-n+1)/(k*n-h) e quindi k*n-h|n^2-n+1
Scelto d si tratta di trovare h e k con MCD(h,k)=1 tali che posto n=h*d-1 risulti k*n-h|n^2-n+1, da cui si calcola m=k*d-1.

Ci penso ancora su...

Ciao

Mistral

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