Problemino del Lunedi'-2
Sempre da una Olimpiade della matematica....mi sembra abbordabile
Determinare tutte le coppie ordinate di interi (m,n) positivi tali che:
(n^3+1)/(mn-1) è un intero.
Di questo ho una soluzione che mi sembra funzioni...
Ciao
Mistral
Mi ero dimenticato di scrivere POSITIVI
quindi domanda tutt'altro che cretina!
Modificato da - Mistral il 23/02/2004 21:32:48
Determinare tutte le coppie ordinate di interi (m,n) positivi tali che:
(n^3+1)/(mn-1) è un intero.
Di questo ho una soluzione che mi sembra funzioni...
Ciao
Mistral
Mi ero dimenticato di scrivere POSITIVI

Modificato da - Mistral il 23/02/2004 21:32:48
Risposte
una domanda cretina: per interi si intendono anche i negativi vero?
Qualcuno ci sta pensando o volete la soluzione?
io un po ci ho riflettutto, ma non ho trovato niente di meglio che una formuletta che mi dà infinite coppie... ma non credo che le dia tutte:
n=(k+1)/(km-1) dove, per ogni k, occorre imporre che n sia naturale
es: per k=2 si ha 3/2m-1 che è naturale per m=1 e m=2, avendosi n=3 e n=1; si hanno quindi le due coppie (1,3) e (2,1)
ciao, ubermensch
n=(k+1)/(km-1) dove, per ogni k, occorre imporre che n sia naturale
es: per k=2 si ha 3/2m-1 che è naturale per m=1 e m=2, avendosi n=3 e n=1; si hanno quindi le due coppie (1,3) e (2,1)
ciao, ubermensch
citazione:
io un po ci ho riflettutto, ma non ho trovato niente di meglio che una formuletta che mi dà infinite coppie... ma non credo che le dia tutte:
n=(k+1)/(km-1) dove, per ogni k, occorre imporre che n sia naturale
es: per k=2 si ha 3/2m-1 che è naturale per m=1 e m=2, avendosi n=3 e n=1; si hanno quindi le due coppie (1,3) e (2,1)
ciao, ubermensch
Oopsss rileggendo la soluzione che avevo pensato mi sono accorto di un errore...
Ecco alcuni fatti comunque veri:
Comunque siano m ed n valgono le seguenti:
MCD(mn-1,n+1)=MCD(m+1,n+1).
(n^3+1)=(n+1)*(n^2-n+1)=(n+1)*((n+1)^2-3n)e risulta MCD(n+1,n^2-n+1)=1
Per cui posto d=MCD(mn-1,n+1)=MCD(m+1,n+1) e
m+1=k*d e n+1=h*d risulta che MCD(h,k)=1.
Siccome mn-1=(m+1)*n-(n+1)=(k*n-h)*d inoltre MCD(k*n-h,h)=1
Inoltre:
(n^3+1)/(mn-1)=h*(n^2-n+1)/(k*n-h) e quindi k*n-h|n^2-n+1
Scelto d si tratta di trovare h e k con MCD(h,k)=1 tali che posto n=h*d-1 risulti k*n-h|n^2-n+1, da cui si calcola m=k*d-1.
Ci penso ancora su...
Ciao
Mistral