Problemino apparentemente difficile
Ecco un problemino facile facile che mi sono inventato io.
Un cerchio viene diviso in $2n$ settori ($n in NN$), e ogni settore viene riempito con un numero reale qualsivoglia. Si possono moltiplicare due numeri vicini (ossia che sono su settori contigui) per un qualsiasi numero reale diverso da $0$. Dopo un numero finito di mosse di questo tipo, tutti i settori hanno numeri uguali. Cosa si può dire riguardo alla configurazione iniziale?
E' facile, vediamo come lo risolvete!
ciao!
Un cerchio viene diviso in $2n$ settori ($n in NN$), e ogni settore viene riempito con un numero reale qualsivoglia. Si possono moltiplicare due numeri vicini (ossia che sono su settori contigui) per un qualsiasi numero reale diverso da $0$. Dopo un numero finito di mosse di questo tipo, tutti i settori hanno numeri uguali. Cosa si può dire riguardo alla configurazione iniziale?
E' facile, vediamo come lo risolvete!
ciao!
Risposte
Che cosa intendi, di preciso, con "numeri vicini"? Intendi numeri che si trovano in settori contigui?
Sì esattamente, correggo così è più chiaro.
credo che, oltre al caso banale in cui siano tutti i numeri uguali a 0, per verificarsi ciò che dici devono essere tutti i numeri diversi da 0 ed ogni numero $x$ deve esprimersi come prodotto dei numeri che si trovano in posizioni dispari (contando le posizioni partendo da $x$ in senso orario, antiorario, indifferentemente) fratto il prodotto dei numeri che si trovano in posizioni pari.
in formule: fissando $x_0$ sulla circonferenza, e chiamando $x_1, x_2, ...,x_(2n-1)$i numeri negli altri settori, contando in verso antiorario (giusto per fissare le idee) risulta verificato che $x_0=(\prod_{k=0}^{n-1} x_(2k+1))/(\prod_{k=1}^{n-1} x_(2k))
in formule: fissando $x_0$ sulla circonferenza, e chiamando $x_1, x_2, ...,x_(2n-1)$i numeri negli altri settori, contando in verso antiorario (giusto per fissare le idee) risulta verificato che $x_0=(\prod_{k=0}^{n-1} x_(2k+1))/(\prod_{k=1}^{n-1} x_(2k))
Bravissimo Boris!
Chiamo $a_1, ..., a_(2n)$ i numeri della configurazione iniziale presi in successione. La chiave per risolvere il problema è il costruire la semplice invariante $I = (a_1a_3...a_(2n-1))/(a_2a_4...a_(2n))$. Si vede facilmente che $I$ non cambia in ogni mossa, così se alla fine è $1$ anche all'inizio (e in qualsiasi punto del procedimento) deve essere $1$.
Questo problema è una rielaborazione un po' più difficile di un problema del libro "Problem Solving Strategies" di Arthur Engel (per citare la fonte).
Chiamo $a_1, ..., a_(2n)$ i numeri della configurazione iniziale presi in successione. La chiave per risolvere il problema è il costruire la semplice invariante $I = (a_1a_3...a_(2n-1))/(a_2a_4...a_(2n))$. Si vede facilmente che $I$ non cambia in ogni mossa, così se alla fine è $1$ anche all'inizio (e in qualsiasi punto del procedimento) deve essere $1$.
Questo problema è una rielaborazione un po' più difficile di un problema del libro "Problem Solving Strategies" di Arthur Engel (per citare la fonte).
io ci sono arrivato partendo da casi semplici, per n=1,2,3..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo