Problemino

[eafkuor1]

Trovare tutte le funzioni definite sui numeri razionali positivi tali che

$f(1/x)=f(x)$
$xf(x)=(x+1)f(x-1)$
$f(1)=1$


Questo quesito non è per Hilbert

[ficus2002]

Dalla relazione $xf(x)=(x+1)f(x-1)$ si ricava che per ogni intero $n>1$ è $f(n)=(n+1)/n f(n-1)$, ossia $f(n)=\prod_{k=2}^{n}(k+1)/k=(n+1)/2$. Poi $f(0)=1/2$ e $f(-1)=0$.
Sempre per ogni intero $m>1$ è $f(1/m)=f(m)=(m+1)/2$.

Se $n=mq+r$ con $00$, allora $f(m/n)=f(r/m+q)=f(r/m)prod_{k=1}^{q} (r/m+k+1)/(r/m+k)=f(r/m) (r/m+q+1)/(r/m+1)=f(r/m) (n+m)/(r+m)$
se $q<0$, analogamente
$f(m/n)=f(r/m+q)=f(r/m)prod_{k=0}^{q+1} (r/m-k+1)/(r/m-k)=f(r/m) (r/m+q+1)/(r/m+1)=f(r/m) (n+m)/(r+m)$.
Pertanto, in generale, è $f(r/m+q)=f(r/m) (qm+r+m)/(r+m)$ per ogni $q in ZZ$.

In particolare, se $r=1$, è $f(1/m)=f(m)=(m+1)/2$, quindi $f(1/m+q)=(qm+1+m)/2$.

Quindi le funzioni sono tutte e sole quelle tali che

$f(n)=(n+1)/2$ per ogni intero $n ge -1$
$f(1/m+q)=(qm+1+m)/2$ per ogni $m>1$ e $q in ZZ$
Se $n=mq+r$ con $0
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[eafkuor1]

Bravo

Comunque non ti posso dire se è giusto perché non ho la soluzione

[ficus2002]

"eafkuor":Bravo

Comunque non ti posso dire se è giusto perché non ho la soluzione