Problemini...
L'animatore di un villaggio turistico vuole organizzare un torneo di ramino che si svolga in $13$ serate, in modo che ogni sera quattro giocatori disputino un incontro e che alla fine delle $13$ serate ogni partecipante incontri una ed una sola volta tutti gli altri.
Quanti giocatori si possono iscrivere al torneo?
Sia data la successione di funzioni, definite nell'intervallo $[-1, 1]$, $T_(n)(x)=cos(phi)$, dove la relazione tra l'angolo $phi$ e la coordinata $x$ è data da: $cosphi=x$.
Dopo aver calcolato $T_(0)(x)$ e $T_(1)(x)$, dimostrare che vale la relazione
$T_(n+1)(x)=2xT_(n)(x)-T_(n-1)(x)$,
e sfruttare tale risultato per dimostrare che $T_(n)(x)$ è un polinomio in $x$.
[Si consiglia di sfruttare opportune identità trigonometriche].
Quanti giocatori si possono iscrivere al torneo?
Sia data la successione di funzioni, definite nell'intervallo $[-1, 1]$, $T_(n)(x)=cos(phi)$, dove la relazione tra l'angolo $phi$ e la coordinata $x$ è data da: $cosphi=x$.
Dopo aver calcolato $T_(0)(x)$ e $T_(1)(x)$, dimostrare che vale la relazione
$T_(n+1)(x)=2xT_(n)(x)-T_(n-1)(x)$,
e sfruttare tale risultato per dimostrare che $T_(n)(x)$ è un polinomio in $x$.
[Si consiglia di sfruttare opportune identità trigonometriche].
Risposte
Presumo che sia $T_n(x)=cos(nphi)$ altrimenti la relazione non avrebbe senso.
Se e' cosi' e' facile stabilire la relazione di ricorrenza.
Infatti si ha:
$T_(n+1)(x)=cos(nphi+phi)=cosnphicosphi-sinnphisinphi$
$T_(n-1)(x)=cos(nphi-phi)=cosnphicosphi+sinnphisinphi$
E sommando:
$T_(n+1)(x)+T_(n-1)(x)=2cosnphicosphi=2xT_n(x)$
da cui appunto la relazione richiesta.
Per la seconda parte ,dato che $T_0(x)=1,T_1(x)=cosphi=x$,si puo'
ricorrere all'induzione forte ( mi pare si chiami cosi') e supporre
che tutti gli $T_i(x),i<=n$ siano polinomi di grado i in x,per giungere, tramite la
relazione or ora dimostrata, che $T_(n+1)(x)$ e' un polinomio
di grado n+1 in x dato che e' somma algebrica di un polinomio
di grado n+1 che e' $xT_n(x)$ e di uno di grado n-1 che e' $T_(n-1)(x)$
karl
Se e' cosi' e' facile stabilire la relazione di ricorrenza.
Infatti si ha:
$T_(n+1)(x)=cos(nphi+phi)=cosnphicosphi-sinnphisinphi$
$T_(n-1)(x)=cos(nphi-phi)=cosnphicosphi+sinnphisinphi$
E sommando:
$T_(n+1)(x)+T_(n-1)(x)=2cosnphicosphi=2xT_n(x)$
da cui appunto la relazione richiesta.
Per la seconda parte ,dato che $T_0(x)=1,T_1(x)=cosphi=x$,si puo'
ricorrere all'induzione forte ( mi pare si chiami cosi') e supporre
che tutti gli $T_i(x),i<=n$ siano polinomi di grado i in x,per giungere, tramite la
relazione or ora dimostrata, che $T_(n+1)(x)$ e' un polinomio
di grado n+1 in x dato che e' somma algebrica di un polinomio
di grado n+1 che e' $xT_n(x)$ e di uno di grado n-1 che e' $T_(n-1)(x)$
karl
"karl":
Presumo che sia $T_n(x)=cos(nphi)$ altrimenti la relazione non avrebbe senso.
Karl l'ho postato proprio perchè mi pareva un problema senza senso senza quell'$n$...tuttavia non è un mio errore, sul libro da dove l'ho preso è veramente scritto così.
Grazie per la risposta.
Inoltre,mi sembra che quella definizione stia proprio alla base dei polinomi di Chebyshev(o Chebychev).
Quanti giocatori si possono iscrivere al torneo?
Più che altro si devono iscrivere 16 giocatori.
"Pachito":Quanti giocatori si possono iscrivere al torneo?
Più che altro si devono iscrivere 16 giocatori.
Come hai fatto?
Scusa ho fatto un banale errore di conto i giocatori devono essere 13.
Si può facilmente arrivare a dire che i giocatori possono essere $4+3n$ ovvero 4,7,10,13,16,19 ecc..
Numeriamo i giocatori e prendiamo la 1° partita tra 1234.
Per un fatto di simmetria ognuno di loro dovrà fare ancora un ugual numero di partite, diciamo k tutte distinte tra loro.
Allora risulterà $4*k=13-1$ (-1 perchè non dobbiamo considerare la partita 1234) da cui $k=3$.
Risulta quindi che ogni giocatore gioca 4 partite ognuna con 3 distinti giocatori, cioè in totale 3*4+1=13
P.S.
L'errore che avevo compiuto era nel dire "ogni giocatore gioca 4 partite ognuna con 4 distinti giocatori"
Si può facilmente arrivare a dire che i giocatori possono essere $4+3n$ ovvero 4,7,10,13,16,19 ecc..
Numeriamo i giocatori e prendiamo la 1° partita tra 1234.
Per un fatto di simmetria ognuno di loro dovrà fare ancora un ugual numero di partite, diciamo k tutte distinte tra loro.
Allora risulterà $4*k=13-1$ (-1 perchè non dobbiamo considerare la partita 1234) da cui $k=3$.
Risulta quindi che ogni giocatore gioca 4 partite ognuna con 3 distinti giocatori, cioè in totale 3*4+1=13
P.S.
L'errore che avevo compiuto era nel dire "ogni giocatore gioca 4 partite ognuna con 4 distinti giocatori"
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