Problema triangoli

[olaxgabry]

Ciao a tutti,
ho trovato questo interessante esercizio che ancora non riesco a risolvere. Vorrei degli input, non necessariamente la soluzione. Ecco il testo

A partire da un triangolo dato $T_0$ si costruisca il triangolo $T_1$ avente come vertici i punti di intersezione tra i lati di $T_0$ e il cerchio ad esso inscritto.
Si costruisca quindi $T_2$ a partire da $T_1$ attraverso le stesse operazioni e si consideri la successione di triangoli $T_0$, $T_1$, $T_2$,..., $T_n$, ottenuta ripetendo la procedura indicata infinite volte. Si dimostri che, all’aumentare di n, gli angoli di questi triangoli diventano sempre più prossimi a quelli di un triangolo equilatero.

p.s: nel caso non sia la sessione giusta, mi scuso anticipatamente.

[cenzo1]

Sia dato un generico triangolo ABC con angoli ai vertici $alpha$, $beta$ e $gamma$. E' il triangolo $T_{0}$.
Nella figura sottostante ho costruito il triangolo $T_{1}$ come richiesto, di vertici A'B'C'.



Come puoi notare, per costruzione, il triangolo A'B'C' ha angoli ai vertici:
in A': $(beta+gamma)/2$
in B': $(alpha+gamma)/2$
in C': $(alpha+beta)/2$

La differenza tra le tre coppie di angoli valgono:
$|A'-B'|=|alpha-beta|/2$
$|B'-C'|=|beta-gamma|/2$
$|C'-A'|=|gamma-alpha|/2$

Prova ora ad iterare il ragionamento con il triangolo $T_{2}$ di veritici A''B''C''.
Trova i nuovi angoli al vertice e le nuove differenze tra le coppie di angoli al vertice.

Dovresti poter dimostrare che tali differenze tendono a zero per $n->oo$... quindi...