Problema sulla divisibilità

[Lindoro]

Determinare se esiste (e in tal caso qual è) un numero intero positivo la cui somma delle cifre sia 2002 e che sia divisibile per 2002. (Test d'ingresso alla Normale di Pisa del 2002).

Qualcuno ha idea di come si possa risolvere? sono settimane che ci lavoro!!!

Grazie.

[giuseppe87x]

L'ho fatto veloce, credo di aver dimostrato che esiste ma non sono riuscito a determinare qual è.

Ogni numero è congruo modulo $3$ alla somma delle sue cifre; poichè si ha $2002-=1(mod3)$ allora anche $x-=1(mod3)$, essendo $x$ il numero cercato. Ciò significa che $EEtinZZ: 3t=x-1$ cioè $x=3t+1$. Poichè si ha per ipotesi $2002|x$ ne consegue che $(3t+1)/2002$ deve essere intero. Esiste quindi $tinNN, t-=0(mod3)$ che soddisfa le ipotesi.

[TomSawyer1]

"giuseppe87x":L'ho fatto veloce, credo di aver dimostrato che esiste ma non sono riuscito a determinare qual è.

Ogni numero è congruo modulo $3$ alla somma delle sue cifre

Cioè, in questo caso, $x-=2002 (mod 3)$ ?

[giuseppe87x]

"Crook":[quote="giuseppe87x"]L'ho fatto veloce, credo di aver dimostrato che esiste ma non sono riuscito a determinare qual è.

Ogni numero è congruo modulo $3$ alla somma delle sue cifre

Cioè, in questo caso, $x-=2002 (mod 3)$ ?[/quote]

Si, ma poichè $2002-=1(mod3)$, per la proprietà transitiva delle congruenze $x-=1(mod3)$

[Aethelmyth]

Io avrei cominciato a provare con un numero costituito da n volte 2002 (20022002...n volte...2002) fino a che la somma delle sue cifre non fosse stata 2002. Ma 2002 non è divisibile per 4 (i divisori sono 2,7,11,13) quindi ho cominciato con i multipli. Direi che 2002*50 va più che bene. Infatti 100100 ripetuto 1001 volte (100100100100...1001 volte...100100) è un numero divisibile per 2002 e la cui somma delle cifre è 2002 .

[Sk_Anonymous]

Forse sbaglio ma anche il numero:
N=1001(2002)(2002)......(2002)
dove il gruppo (2002) si ripete 500 volte, puo' andar bene.
A questo punto credo di numeri di tal fatta ce ne siano parecchi:basta
spostare il gruppo 1001 in modo che non capiti in fondo al numero da trovare.
karl

[Aethelmyth]

Non parecchi... infiniti