Problema normale "freschissimo"!

[Lindoro]

Problema fresco fresco dalla Normale di Pisa: Dimostrare che L'ortocentro, il baricentro e il circocentro di un triangolo qualunque giacciono sulla stessa retta e che la distanza tra i primi due è il doppio di quella degli altri due.

[Sk_Anonymous]

Di questo teorema esistono varie dimostrazioni:scelgo quella che
utilizza una particolare omotetia.
Siano A',B',C' il punti medi dei lati BC,CA,AB rispettivamente
e G,H,O baricentro,ortocentro e circocentro di ABC (vedi fig.)
Come e' noto risulta AG=2GA' ed analogamente per gli altri lati.
Ne segue che le coppie (A,A') ,(B,B'),(C,C') sono coppie corrispondenti
nella omotetia $Omega$ di centro G e caratteristica -2.
In altre parole i triangoli ABC e A'B'C' sono omotetici in $Omega$
e dunque all'ortocentro H di ABC corrisponde in $Omega$ il circocentro O
che facilmente si vede essere l'ortocentro di A'B'C'.
Pertanto segue che H ed O sono allineati col centro G di $Omega$ e risulta
inoltre HG=2GO.
karl

[jack110]

allora non sono l' unico ad averlo risolto così...

[giuseppe87x]

Anche io, stessa identica dimostrazione, tra l'altro non ne ero molto sicuro perchè pur conoscendo questo teorema sulla retta di Eulero, non avevo mai visto la dimostrazione

[Thomas16]

un bel "bravo!" a chi l'ha risolto senza conoscere il teorema... veramente molto bravo...