Problema di scelta

[oliottavio]

Iniziamo da un problemino semplice (la vera domanda che mi affligge, trovata in un libro divulgativo di matematica, arriverà dopo la risoluzione di questo semplice problemino):

Immaginiamo questo gioco: ad una persona che vince una certa quantità di denaro x, al momento della consegna del premio, gli viene detto: "ora, puoi tenerti la cifra, oppure tirare in aria una monetina, se esce testa la cifra verrà dimezzata, se esce croce verrà raddoppiata". Quale è la scelta migliore che la persona possa fare? Tenersi la cifra o rischiare?

[marco99991]

Questo problema è simile al paradosso delle due buste, di cui si è parlato qualche topic fa.
Però credo che in questo caso sia giusto lanciare la moneta perche c'è un guadagno di $x/4$.
A meno che non ci sia qualcosa nel testo che mi è sfuggito...

[oliottavio]

Si, il guadagno è proprio $ x/4$
In effetti la mia successiva domanda riguardava una variante del paradosso delle 2 buste, che mi hai comunque permesso di chiarire stimolandomi a leggere il topic che mi hai suggerito. In un libro che avevo letto recentemente si diceva del paradosso delle 2 buste: Una volta che uno apre la busta e vede il valore, in teoria gli conviene cambiare la busta. Ma lo stesso ragionamento lo può fare anche l'altra persona e quindi come è possibile che il cambio sia vantaggioso per entrambi? Allora, nel libro si sosteneva che in effetti, il problema veniva risolto per il fatto che vedendo il valore uno aveva delle informazioni, tipo se il valore diviso per 2 dovesse dare un valore non rappresentabile come importo, allora uno poteva capire di avere il doppio, ma la cosa non mi aveva convinto molto. Allora avevo pensato alla variante delle 2 buste, dovendo scegliere se cambiare la busta o no senza aprirla e mi stavo perdendo credendo che in effetti mi risultava che cambiando le buste si avesse un guadagno di $ x/2$, ma era impossibile che a tutti e 2 convenisse cambiare. L'errore stà nel fatto che consideravo solo $ x $ il guadagno se non si cambia, mentre $ x+x/2$ quello quando si cambia, non pensando al fatto che anche non cambiando si ha la stessa probabiltà $x+x/2$, come ha perfettamente spiegato gygabyte017 nel topic da te suggerito.

[marco99991]

Immaginavo che saresti arrivato a parlare del paradosso. In questo tipo di problemi basta una piccola differenza che la strategia giusta cambia! E io, anche se sono ovviamente convinto che le soluzioni di questi due problemi sono diverse (anche perché le ho trovate entrambe per conto mio) non riesco ancora a cogliere il perché in un caso convenga cambiare e nell'altro no, dal momento che i testi dei due problemi sembrano identici. So che non lo sono ma mi sfugge il motivo.

[oliottavio]

La differenza tra i 2 giochini mi pare questa: nel primo giochino, quello in cui tiri la monetina per prendere il doppio o la metà dell'importo che hai in mano, conviene cambiare perchè la differenza tra il doppio e la cifra che hai è maggiore della differenza della cifra dalla sua metà. In quel gioco, si andrebbe in pareggio con il cambio se le alternative fossero tra il doppio e niente. Mentre nel gioco delle 2 buste, la differenza tra la mia busta e l'altra è la stessa sia che io abbia la metà sia che io abbia il doppio. Ecco perchè in questo caso non si guadagna nulla cambiando, almeno credo!