Problema di minimo...

[isaac888]

Ciao a tutti ...

Qualcuno sarebbe capace di spiegarmi come si risolve un esercizio di questo tipo?

Dati a>0, b>0 con a,b appartenenti ad R

Trovare il valore minimo assunto dall'espressione $(4a^2)/b + (b+1)/a$

Ringrazio in anticipo chiunque mi spieghi come si fa......

[_Tipper]

Quella è una funzione di due variabili, puoi calcolare il gradiente, trovare i punti stazionari, e vedere e appartengono alla regione ammissibile.

Il dominio, $\{(a,b) \in \mathbb{R}^2: a>0, b>0\}$ non è chiuso, pertanto potrebbe starci, non ho fatto i conti, che la funzione sia inferiormente illimitata, anche se a occhio direi proprio di no.

[Sk_Anonymous]

Dice bene Tipper.Tuttavia penso che Isaac888 cerchi una soluzione
elementare che puo' essere trovata con l'uso della regola AM-GM
(media aritmetica-media geometrica).Essa dice che se x,y,z
sono tre variabili positive allora e':
$x+y+z>=3*root[3](xyz)$ e l'eguaglianza ,ovvero il minimo di x+y+z se xyz e' costante,si
ottiene quando risulta x=y=z
Nel nostro caso si ha:
$(4a^2)/b+(b+1)/a=(4a^2)/b+b/a+1/a>=3*root[3]((4a^2)/b*b/a*1/a)=3*root[3]4$
Pertanto il minimo richiesto e' uguale a $3*root[3]4$
e si ottiene quando e' $(4a^2)/b=b/a=1/a$ ovvero allorche' risulta
$a=root[3](1/4),b=1$
karl

[isaac888]

Grazie 1000 ... il risultato è quello corretto!