Problema di geometria sfizioso e non banale (secondo me)

[MrDark82]

Egregi,

nella figura seguente, a=6, b=3 e c=2. Trovare la lunghezza del lato d. Il lato c è perpendicolare al segmento che chiude il triangolo formato dai lati a e b.



Saluti

[orsoulx]

Tosto! Per ora una soluzione approssimata trovata a suon di geometria analitica:

3.58018055704

Quando ho tempo voglio ancora provarci con la trigonometria.
Ciao

[dan952]

Qualche similitudine...

[orsoulx]

Con il teorema di Carnot si risparmia qualche calcolo rispetto alla geometria analitica, Occorre comunque risolvere un'equazione di terzo grado (di quelle cattive, con tre soluzioni reali).
Non penso che le similitudini di dan95 portino a qualcosa di diverso.
Ciao

[MrDark82]

"orsoulx":Con il teorema di Carnot si risparmia qualche calcolo rispetto alla geometria analitica, Occorre comunque risolvere un'equazione di terzo grado (di quelle cattive, con tre soluzioni reali).
Non penso che le similitudini di dan95 portino a qualcosa di diverso.
Ciao

Certamente la soluzione numerica non può essere che approssimata, ma mostreresti anche i passaggi che hai utilizzato? In questo modo possiamo cercare insieme quale escamotage... Io non ho ancora un metodo di risoluzione soddisfacente!

[orsoulx]

Indicando con $ ABC $ il trianolo ($ BC $ cateto maggiore, $ AC $ cateto minore), $ D $ il punto su BC ed $ E $ quello su AC tali che l’angolo $ A hat(D)C $ sia retto.
Conosciamo $ AB=6, BD=3, DE=2 $. Posto $ BE=x -> AE=6-x $ il teorema di Carnot applicato al triangolo $ DEB $ permette di ricavare $ cos(C hat(E)B)=(x^2-5)/(4x) $ e quindi $ cos(C hat(E)A)=(5-x^2)/(4x) $, perché supplementare dell’altro.
Dal triangolo rettangolo $ CEA $ otteniamo l’equazione $ (6-x)*(5-x^2)/(4x)=2 →x^3-6x^2-13x+30=0 $ che, volendo, si può ridurre alla $ t^3-25t-12=0 $ con $x=t+2$.
Delle tre soluzioni ricavabili numericamente o, per i puristi masochisti, con gli opportuni formuloni, ci interessa solo quella più vicina allo zero: le altre sono da scartare perché portano a valori di $ x $ negativi o maggiori di $ 6 $.
Per ottenere la desiderata misura di $ AC $ si può, sempre con Carnot applicato al triangolo $ DEB $, ricavare $ cos(E hat(B)D)=(x^2+5)/(6x) $ da cui si ottiene con facili passaggi $ AC=sqrt(36-((x^2+5)/x)^2) $.

Ciao

[MrDark82]

"orsoulx":

Indicando con $ ABC $ il trianolo ($ BC $ cateto maggiore, $ AC $ cateto minore), $ D $ il punto su BC ed $ E $ quello su AC tali che l’angolo $ A hat(D)C $ sia retto.
Conosciamo $ AB=6, BD=3, DE=2 $. Posto $ BE=x -> AE=6-x $ il teorema di Carnot applicato al triangolo $ DEB $ permette di ricavare $ cos(C hat(E)B)=(x^2-5)/(4x) $ e quindi $ cos(C hat(E)A)=(5-x^2)/(4x) $, perché supplementare dell’altro.
Dal triangolo rettangolo $ CEA $ otteniamo l’equazione $ (6-x)*(5-x^2)/(4x)=2 →x^3-6x^2-13x+30=0 $ che, volendo, si può ridurre alla $ t^3-25t-12=0 $ con $x=t+2$.
Delle tre soluzioni ricavabili numericamente o, per i puristi masochisti, con gli opportuni formuloni, ci interessa solo quella più vicina allo zero: le altre sono da scartare perché portano a valori di $ x $ negativi o maggiori di $ 6 $.
Per ottenere la desiderata misura di $ AC $ si può, sempre con Carnot applicato al triangolo $ DEB $, ricavare $ cos(E hat(B)D)=(x^2+5)/(6x) $ da cui si ottiene con facili passaggi $ AC=sqrt(36-((x^2+5)/x)^2) $.

Ciao

Eh già, stesso procedimento che ho usato io, quindi. Non so tu, ma a me non riuscire a trovare una soluzione analitica e non numerica mi provoca un prurito fisico...

Nessun altro ha qualche idea?

[orsoulx]

Le soluzioni di un'equazione di terzo grado si possono scrivere utilizzando i numeri complessi oppure funzioni goniometriche elementari. Basta averne voglia e ritenere che un'espressione lunghetta e complicata sia più interessante di un valore numerico approssimato quanto si vuole.
Ciò che non si può fare è una costruzione con riga e compasso.
Non credo sia difficile trovare un problema la cui soluzione comporti equazioni di grado elevato. Questo non lo renderebbe più brutto, ma solamente non consueto.
A me il problema è piaciuto. Potresti provare con gli antistaminici....
Ciao