Problema di geometria.
Si consideri il triangolo di vertici $A, B, C$ di ortocentro $H$ e in cui $K$ è il piede dell'altezza abbassata dal vertice $A$. Dimostrare che si ha:
$4AK*HK<=BC^2$
N.B. chi sa già la soluzione attenda un pò prima di postarla in modo che gli altri abbiano il tempo di pensarci un pò.
$4AK*HK<=BC^2$
N.B. chi sa già la soluzione attenda un pò prima di postarla in modo che gli altri abbiano il tempo di pensarci un pò.
Risposte
Perchè dici chi sa già la soluzione? Se è un problema famoso io di certo non lo conosco...
Vediamo se nonostante il caldo riesco a risolvere il problema!
Supponiamo che H sia interno al triangolo (il caso H esterno non l'ho trattato).
Dalla similitudine dei triangoli ACK e HKB si ha
$HK:CK=BK:AK$, ovvero
$HK*AK=CK*BK$.
Ora $CK+BK=BC$, pertanto il prodotto $CK*BK$ è massimo quando $CK=BK=(BC)/2$.
Quindi $CK*BK<=(BC)^2/4$, da cui segue la disuguaglianza richiesta.
Vediamo se nonostante il caldo riesco a risolvere il problema!
Supponiamo che H sia interno al triangolo (il caso H esterno non l'ho trattato).
Dalla similitudine dei triangoli ACK e HKB si ha
$HK:CK=BK:AK$, ovvero
$HK*AK=CK*BK$.
Ora $CK+BK=BC$, pertanto il prodotto $CK*BK$ è massimo quando $CK=BK=(BC)/2$.
Quindi $CK*BK<=(BC)^2/4$, da cui segue la disuguaglianza richiesta.
OK! 
La similitudine io l'ho trovata considerando il simmetrico di $H$ rispetto alla lato $AB$ che cade sulla circonferenza circoscritta. Da li si vede che gli angoli ACK e KBH sono uguali. Hai fatto così?
La similitudine io l'ho trovata considerando il simmetrico di $H$ rispetto alla lato $AB$ che cade sulla circonferenza circoscritta. Da li si vede che gli angoli ACK e KBH sono uguali. Hai fatto così?
no,
indicando con CL l'altezza condotta dal vertice C e
AHL = a = KHC (perchè opposti al vertice)
HCK = 90-a
indicando con CL l'altezza condotta dal vertice C e
AHL = a = KHC (perchè opposti al vertice)
HCK = 90-a
ah va be ma alla fine è la stessa cosa.
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