Problema di divisibilità
Scusate se si tratta di un problema vecchio.. Un mio amico me lo ha proposto perché non riusciva a risolverlo e dopo un'ora di tentativi mi sono accorto di non riuscirci neanche io. Sono sempre stato scarso sulle congruenze e cose del genere, scusate se il problema è banale 
Dimostrare che se $4ab-1$ divide $(4a^2-1)^2$ allora $a=b$
Grazie!
Dimostrare che se $4ab-1$ divide $(4a^2-1)^2$ allora $a=b$
Grazie!
Risposte
bella simon indovina chi sono...
ordina su internet due copie di algebra superiore e vedi che le congruenze te le mangi( ps in classe lo avevo fatto bene cerca le soluzioni alle imo vecchie).
ovviamente il secondo libro è per me!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
poi se mi ritorna l'illuminazione posto la soluzione bella
ordina su internet due copie di algebra superiore e vedi che le congruenze te le mangi( ps in classe lo avevo fatto bene cerca le soluzioni alle imo vecchie).
ovviamente il secondo libro è per me!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
poi se mi ritorna l'illuminazione posto la soluzione bella
Mmmm...forse, dico forse e sottolineo forse...
Se $4ab - 1$ divide $(4a^2 - 1)^2$ allora $4ab - 1$ divide $(4a^2 - 1) * (4a^2 - 1)$; se $4ab - 1$ divide $(4a^2 - 1) * (4a - 1)$ allora $4ab - 1$ divide $4a^2 - 1$; se $4ab - 1$ divide $4a^2 - 1$ allora $4ab$ divide $4a^2$ (come conseguenza dell'algoritmo per la divisione tra polinomi). Se $4a^2$ è diviso da $4ab$ allora $a/b$ è un monomio, cioè è $a=nb$ e $n * (4ab - 1) = 4a^2 - 1$, cosa per la verità della quale dovrà essere $n=1$ da cui la tesi.
Il tutto, ovviamente, a meno di probabilissimi erroracci.
Nota.
Si accettano volentieri correzioni di qulunque genere e natura.
Se $4ab - 1$ divide $(4a^2 - 1)^2$ allora $4ab - 1$ divide $(4a^2 - 1) * (4a^2 - 1)$; se $4ab - 1$ divide $(4a^2 - 1) * (4a - 1)$ allora $4ab - 1$ divide $4a^2 - 1$; se $4ab - 1$ divide $4a^2 - 1$ allora $4ab$ divide $4a^2$ (come conseguenza dell'algoritmo per la divisione tra polinomi). Se $4a^2$ è diviso da $4ab$ allora $a/b$ è un monomio, cioè è $a=nb$ e $n * (4ab - 1) = 4a^2 - 1$, cosa per la verità della quale dovrà essere $n=1$ da cui la tesi.
Il tutto, ovviamente, a meno di probabilissimi erroracci.
Nota.
Si accettano volentieri correzioni di qulunque genere e natura.
ciao federico come butta
che $n * (4ab - 1) = 4a^2 - 1$ lo si poteva scrivere subito dopo aver detto che $4ab - 1$ divide $(4a^2 - 1) * (4a^2 - 1)$, no? e comunque non capisco perché debba essere per forza $n=1$
"WiZaRd":
Mmmm...forse, dico forse e sottolineo forse...
Se $4ab - 1$ divide $(4a^2 - 1)^2$ allora $4ab - 1$ divide $(4a^2 - 1) * (4a^2 - 1)$; se $4ab - 1$ divide $(4a^2 - 1) * (4a - 1)$ allora $4ab - 1$ divide $4a^2 - 1$; se $4ab - 1$ divide $4a^2 - 1$ allora $4ab$ divide $4a^2$ (come conseguenza dell'algoritmo per la divisione tra polinomi). Se $4a^2$ è diviso da $4ab$ allora $a/b$ è un monomio, cioè è $a=nb$ e $n * (4ab - 1) = 4a^2 - 1$, cosa per la verità della quale dovrà essere $n=1$ da cui la tesi.
Il tutto, ovviamente, a meno di probabilissimi erroracci.
Nota.
Si accettano volentieri correzioni di qulunque genere e natura.
che $n * (4ab - 1) = 4a^2 - 1$ lo si poteva scrivere subito dopo aver detto che $4ab - 1$ divide $(4a^2 - 1) * (4a^2 - 1)$, no? e comunque non capisco perché debba essere per forza $n=1$
$n*(4ab - 1)=4a^2 - 1 \ \ \ stackrel[a=nb]{=>} \ \ \ n*(4n*n*b - 1)=4*(nb)^2 - 1 => 4n^2 b^2 - n = 4n^2 b^2 - 1 => n=1$
A me viene così.
A me viene così.
si è giusto! (in un passaggio hai scritto una n invece di una b)
non capisco ancora una cosa: sei sicuro che se $4ab-1|4a^2-1$ allora $4ab|4a^2$
non capisco ancora una cosa: sei sicuro che se $4ab-1|4a^2-1$ allora $4ab|4a^2$
Ora che ci penso meglio non sono poi tanto sicuro.
Devo aver detto una cavolata.
Chiedo scusa per il tempo che ti ho sottratto con la sciocchezza detta.
Devo aver detto una cavolata.
Chiedo scusa per il tempo che ti ho sottratto con la sciocchezza detta.
Figurati! Non mi hai fatto perdere tempo, con la matematica il tempo non è mai perso 
Infatti comunque mi sembrava abbastanza strano quello che avevi detto
Infatti comunque mi sembrava abbastanza strano quello che avevi detto
Approfondisci pure le domande che ti sono venute dalla dimostrazione di Wizard, ma sappi che il problema è stato posto e risolto qui
http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/v ... php?t=8771
Ciao
http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/v ... php?t=8771
Ciao
"Simone Russo":
Scusate se si tratta di un problema vecchio.. Un mio amico me lo ha proposto perché non riusciva a risolverlo e dopo un'ora di tentativi mi sono accorto di non riuscirci neanche io. Sono sempre stato scarso sulle congruenze e cose del genere, scusate se il problema è banale
Dimostrare che se $4ab-1$ divide $(4a^2-1)^2$ allora $a=b$
Grazie!
ci provo anche io
$4ab-1$ divide $(4a^2-1)^2=(4a^2-1)(4a^2-1)$ notare che sia $4ab-1$ che $4a^2-1$ sono numeri dispari.
ipotiziamo che siano divisibili tra loro, allora posto $k=4ab-1$ e $j^2=(4a^2-1)^2$, otteniamo che le fattorizzazioni di k e j sono tutte potenze dispari (osservazione superflua).
allora la loro divisibilità implica che $nk=j^2$ tali che $k,n,jinNN$, cioè $kn=j^2$,cioè $sqrt(kn)=j$ (solo la radice positiva teniamo in considerazione in quanto giochiamo nei naturali).
e questo è assurdo a meno che $kn$ sia un quadrato perfetto, allora se deve essere un quadrato perfetto si ha che $(4ab-1)n$ deve essere un quadrato perfetto
cvd
spero di non avre detto troppe cavolate, come dimostrazione mi sembra abbastanza elementare.
Mi sembra corretta!
"fu^2":
e questo è assurdo a meno che $kn$ sia un quadrato perfetto, allora se deve essere un quadrato perfetto si ha che $(4ab-1)n$ deve essere un quadrato perfetto, segue che $n=(4ab-1)$
In realtà $n$ non è obbligato ad assumere quel valore, potrebbe anche essere
$n=(4ab-1)^3$ e si avrebbe comunque un quadrato perfetto.
Che ne pensi?
"Steven":
[quote="fu^2"]
e questo è assurdo a meno che $kn$ sia un quadrato perfetto, allora se deve essere un quadrato perfetto si ha che $(4ab-1)n$ deve essere un quadrato perfetto, segue che $n=(4ab-1)$
In realtà $n$ non è obbligato ad assumere quel valore, potrebbe anche essere
$n=(4ab-1)^3$ e si avrebbe comunque un quadrato perfetto.
Che ne pensi?
[/quote]giusta osservazione, però..
se $n=(4ab-1)^3$ dovresti imporre che $(4a^2-1)^2/(4ab-1)=(4ab-1)^3$ quindi
$4a^2-1=(4ab-1)^2->4a^2-1=16a^2b^2+1-8ab->4a^2(1-4b^2)=2(1-4b)->2a^2(4b^2-1)=4b-1->2a^2=(4b-1)/(4b^2-1)
$a=sqrt(1/2(4b-1)/(4b^2-1))$ e quindi a è irrazionale, in quanto b è naturale per ipotesi, assurdo.
edit: se non si vogliono scomodare gli irrazionali, basta osservare che $(1/2(4b-1)/(4b^2-1))<1$ $AAbinNN$
in modo analogo puoi mostrare che non può essere che $n=(4ab-1)^(2k+1)$ con $k>=1$
$n=4ab-1$ è l'unico valore accettabile.
quindi segue il resto della dimostrazione
Non essendo $4ab-1$ necessariamente primo, $n$ può essere qualsiasi cosa. Qui si è parlato del problema, per chi fosse interessato.
beh a mio parere se 4a^2-1 viene diviso da 4ab-1 n può essere qualsiasi cosa nei naturali, affinchè non dia contraddizione.
se n fosse diverso, risultarebbe che 4a^2-1 è irrazionale, il che sarebbe assurdo...
o mi sbaglio?
se n fosse diverso, risultarebbe che 4a^2-1 è irrazionale, il che sarebbe assurdo...
o mi sbaglio?
$n=(4ab-1)^(2k+1)$ risolve solo una piccola parte del problema, cioè il caso in cui $n$ sia potenza dispari di $4ab-1$. Se $4ab-1$ è primo, allora può verificarsi per esempio $n(4ab-1)=p_1^(e_1)\cdots p_m^(e_m)$, con $n$ un qualsiasi divisore di quella fattorizzazione, per esempio $p_i^k$ o $p_1*p_2$ etc.
scusa se insisto, ma non riesco a capire...
io arrivo a una situazione in cui $4a^2-1=sqrt(n(4ab-1))
quindi a destra ci deve essere un quadrato perfetto.
se 4ab-1 è primo, allora la sua fatorizzazione è semplice ( ) e arà data da lui stesso, per non avere una contraddizione (cioè che a sinistra rimanga un razionale) allora deve essere un qudrato perfetto, e quindi bisogna avere che $n(4ab-1)=(4ab-1)^2$
se no la radice rimane per sempre...
se l'esponente è maggiore di uno, si arriva comunque a questa contraddizione come ho fatto vedere prima.
dov'è che non riesco a capire scusa?
scusa se ti rompo, ma vorrei capire.. grazie
io arrivo a una situazione in cui $4a^2-1=sqrt(n(4ab-1))
quindi a destra ci deve essere un quadrato perfetto.
se 4ab-1 è primo, allora la sua fatorizzazione è semplice (
) e arà data da lui stesso, per non avere una contraddizione (cioè che a sinistra rimanga un razionale) allora deve essere un qudrato perfetto, e quindi bisogna avere che $n(4ab-1)=(4ab-1)^2$ se no la radice rimane per sempre...
se l'esponente è maggiore di uno, si arriva comunque a questa contraddizione come ho fatto vedere prima.
dov'è che non riesco a capire scusa?
scusa se ti rompo, ma vorrei capire.. grazie
Non è vero che deve essere $n(4ab-1)=(4ab-1)^2$; stai assumendo la tesi così. $n$ può essere un qualsiasi fattore di $4a^2-1$, un numero primo, un prodotto di due numeri primi, ma non c'è nessuna ragione per cui debba essere assolutamente una potenza di $4ab-1$. Il problema non è una cavolata, dato che faceva parte dei problemi delle IMO 2007, come si vede nel link di prima.
"TomSawyer":
Non è vero che deve essere $n(4ab-1)=(4ab-1)^2$; stai assumendo la tesi così. $n$ può essere un qualsiasi fattore di $4a^2-1$, un numero primo, un prodotto di due numeri primi, ma non c'è nessuna ragione per cui debba essere assolutamente una potenza di $4ab-1$. Il problema non è una cavolata, dato che faceva parte dei problemi delle IMO 2007, come si vede nel link di prima.
ok ho più o meno capito
grazie mille!
ps mica ho detto che il problema è una cavolata, anzi... però volevo capire bene che falla c'era nel mio ragionamenteo...
ciaoo
scusate la mostruosa ignoranza ma voi del forum questi argomenti (teoremi,intuizioni...) che usate nel problem solving dove gli avete imparati??
io cerco di seguire le soluzioni a problemi simili postate da voi ma proprio non capisco come vi siano saltate in mente,o in certi casi addirittura cosa fate...
aspetto consigli di ogni tipo grazie
io cerco di seguire le soluzioni a problemi simili postate da voi ma proprio non capisco come vi siano saltate in mente,o in certi casi addirittura cosa fate...
aspetto consigli di ogni tipo grazie
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