Problema con matrice 2x2

[Gost91]

Sinceramente non so se questa è la sezione del forum più attinente al mio problema, quindi perdonatemi se sto per porre un problema impertinente.

Oggi un mio amico mi ha posto il seguente quesito (riporto il testo) :

"Considerare una tabella quadrata formata da 4 numeri diversi e disposti in 2 righe ciascuna composta da 2 numeri.

Siano:

- r1 il più piccolo dei numeri della prima riga
- r2 il più piccolo dei numeri della seconda riga
- R il maggiore tra r1 ed r2
- K1 il più grande dei numeri della prima colonna
- K2 il più grande dei numeri della seconda colonna
- k il minore tra K1 e K2

Allora possiamo concludere che:

A. R≤k
B. R≥k
C. R D. R=k
E. R>k "

Facendo un po' di prove trovo che la risposta giusta è A, nel senso che non sono riuscito (almeno per ora) a trovare un esempio in cui R>K.

Ho provato un po' a scervellarmi su come dimostrare che la risposta giusta sia la A ma sono giunto a un risultato che mi convince un po' poco e che non mi soddisfa.
Mi chiedevo se qualcuno potesse darmi una mano a trovare la risposta giusta con tanto di dimostrazione.

[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Giochi matematici.[/xdom]

[Seneca1]

Un controesempio per la $E$ potrebbe essere:

$((0,0),(0,0))$

[Gost91]

Viene esplicitamente chiesto che tutti i numeri della tabella siano diversi

[Seneca1]

Avevo letto male. Allora:

$((1,2),(0, 1/2))$

[Sk_Anonymous]

Chiamiamo $a$, $b$, $c$ e $d$ i quattro numeri e siano ordinati in modo che $a In base a come sono posizionati $a$, $b$, $c$ e $d$ all'interno della tabella cambiano i valori di $R$ e $k$.

Facciamo due osservazioni:

[*:qk5772xa] scambiando fra di loro le due colonne il risultato non cambia, lo stesso per lo scambio delle righe, quindi sono sempre libero di scegliere arbitrariamente uno dei quattro numeri e supporre che si trovi in alto a sinistra[/*:m:qk5772xa]
[*:qk5772xa] sia $R$ sia $k$ devono essere o $b$ o $c$ (la dimostrazione di ciò è molto semplice)[/*:m:qk5772xa][/list:u:qk5772xa]

Ora possiamo distinguere tutti i casi possibili che si sono ridotti a pochissimi casi.


[*:qk5772xa] Se $R=c$ allora suppongo che $c$ sia l'elemento in alto a sinistra e da $r_1=c$ segue che la prima riga è (c d).
Le uniche due tabelle possibili sono allora $((c,d),(a,b))$ e $((c,d),(b,a))$. In entrambi i casi $k=c$.[/*:m:qk5772xa]
[*:qk5772xa] Se $R=b$ allora suppongo che $b$ sia l'elemento in alto a sinistra e da $r_1=b$ segue che la prima riga deve essere (b c) oppure (b d).
Le uniche quattro tabelle possibili sono $((b,c),(a,d))$, $((b,c),(d,a))$, $((b,d),(a,c))$ e $((b,d),(c,a))$.
Nel primo e nel terzo caso $k=b$, mentre nel secondo e nel quarto $k=c$,[/*:m:qk5772xa][/list:u:qk5772xa]
Si conclude che vale sempre $R\le k$ (non valendo, in generale, la disuguaglianza in senso stretto).