Problema carino

[eafkuor1]

Dimostrare che per ogni primo $p$ esistono tre numeri $x, y, z$ e un numero $0
$x^2+y^2+z^2=wp$



preso da: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=74603

[carlo232]

"eafkuor":Dimostrare che per ogni primo $p$ esistono tre numeri $x, y, z$ e un numero $0
$x^2+y^2+z^2=wp$



preso da: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=74603

Se $p -= 1 mod 4$ allora segue dal celeberrimo teorema di Eulero che $p$ si puoi scrivere come somma di due quadrati e quindi

$p=x^2+y^2+0^2$

se $p-= - 1 mod 4$ allora considerando gli insiemi

$A={x^2 mod p: 0<=x<=(p-1)/2}$ e $B={-1-y^2 mod p: 0<=x<=(p-1)/2}$

è facile vedere che gli elementi di A sono tutti distinti per cui $|A|=|B|=(p+1)/2$ ovvero esiste $r$ che appartieni sia ad $A$ che a $B$, per cui

$x^2 -= -1-y^2 mod p$

può essere soddisfatta e per le scelte fatte $x^2+y^2+1
Ah, dimenticavo il caso $p=2$ questo si risolve a parte.