Polinomio di quinto grado
Provare che il polinomio
$x^5-5x^4+5x^3+5x^2-5x-5$
è risolubile per radicali.
$x^5-5x^4+5x^3+5x^2-5x-5$
è risolubile per radicali.
Risposte
Impossibile...il polinomio di quinti grado non è risolubile per radicali (o meglio con una formula), come lo sono i polinomi di 1°, 2°, 3° e 4° grado...
questa dimostrazione è stata data da una delle menti più brillanti del XIX secolo....Evarise Galois..che all'età di 21 anni nel cercare la soluzione ad un equazione di 5° grado ha inventato quella che oggi va sotto il nome di "teoria dei gruppi"...
se vuoi sapere altro non esitare a chiedere anche perchè c'è tanto da dire su questo argomento...
ciaoooo
questa dimostrazione è stata data da una delle menti più brillanti del XIX secolo....Evarise Galois..che all'età di 21 anni nel cercare la soluzione ad un equazione di 5° grado ha inventato quella che oggi va sotto il nome di "teoria dei gruppi"...
se vuoi sapere altro non esitare a chiedere anche perchè c'è tanto da dire su questo argomento...
ciaoooo
Il polinomio generale grado superiore a 4 non è risolubile per radicale; esistono però polinomi di grado superiore a 4 risolubili per radicali e questo qui sopra ne è un esempio (se non ho sbagliato a scriverlo 
)
)
"Splair":
Impossibile...il polinomio di quinti grado non è risolubile per radicali (o meglio con una formula), come lo sono i polinomi di 1°, 2°, 3° e 4° grado...
Attenzione! Il teorema di Galois afferma che non tutte le equazioni di grado superiore al quarto sono risolubili per radicali, ad esempio $x^5-1=0$ è risolubile per radicali con molta facilità, infatti $x$ è semplicemente una radice quinta dell'unità
Attenzione! Il teorema di Galois afferma che non tutte le equazioni di grado superiore al quarto sono risolubili per radicali, ad esempio $x^5-1=0$ è risolubile per radicali con molta facilità, infatti $x$ è semplicemente una radice quinta dell'unità Very Happy
sono logicamente escluse quel tipo di equazioni...
Si abbia un'equazione generica della forma $x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5$
Posto : $x_r = x_1 = - (a_5/a_4)$
chiameremo convergente una delle radici dell'equazione di 5° grado data, l'espressione:
$x_r+1= (4x^5+3a_1(x^4)_r+2a_2(x^3)_r+a_3(x^2)_r-a_5)/(5(x^4)_r+4a_1(x^3)_r+3a_2(x^2)_r+2a_3x_r+a_4)$
Sviluppando in serie tale espressione finchè
$x_r+1 = x_r$
Otteniamo che $x_r+1$ è una soluzione dell'equazione di quinto grado.
questo è tutto o almeno sembra...
Posto : $x_r = x_1 = - (a_5/a_4)$
chiameremo convergente una delle radici dell'equazione di 5° grado data, l'espressione:
$x_r+1= (4x^5+3a_1(x^4)_r+2a_2(x^3)_r+a_3(x^2)_r-a_5)/(5(x^4)_r+4a_1(x^3)_r+3a_2(x^2)_r+2a_3x_r+a_4)$
Sviluppando in serie tale espressione finchè
$x_r+1 = x_r$
Otteniamo che $x_r+1$ è una soluzione dell'equazione di quinto grado.
questo è tutto o almeno sembra...
"Splair":Attenzione! Il teorema di Galois afferma che non tutte le equazioni di grado superiore al quarto sono risolubili per radicali, ad esempio $x^5-1=0$ è risolubile per radicali con molta facilità, infatti $x$ è semplicemente una radice quinta dell'unità Very Happy
sono logicamente escluse quel tipo di equazioni...
Simpaticamente si... però un teorema non fa eccezioni...
Potresti spiegare meglio quello che hai scritto rigardo a $x_r$? Cos'è un metodo iterativo per trovare una soluzione?
Non è che sia molto chiaro...
Simpaticamente si... però un teorema non fa eccezioni...
Hai ragione...rileggendo tutto quello che ho scritto oggi pomeriggio mi sono accorto che ho scritto una marea di ca****te!!!!
Chiedo scusa e cerco di ripristinare la situazione...
allora premettendo che il teorema di Galois dice che non tutte le equazioni di grado superiore al 4° sono risolubili per radicali (cioè con le operazioni aritmetiche e con le radici) ma esistono esempi come quello descritto da te cioè $x^5-1=0$ che è risolvibile senza alcun problema...
tutte quelle formule che ho scritto prima riguardo a $x_r$ è in poche parole un teorema del professor Bellia che dice di aver scoperto un modo per poter risolvere le equazioni di grado n. mi spiego meglio...
Innanzitutto bisogna spiegare il SUO teorema delle ridotte...cioè:
Si abbia una generica equazione di grado n nella forma:
$x^n+a_1x^(n_ -1)+a_2x^(n_ -2)+......a_(n-2)x^2+a_(n_-1) x+a_n=0$
se k è una sua radice la ridotta sarà:
$x^(n-1) + A_1 x^(n-2)+ A_2x^(n-3)+.....+A_(n_ -3)x^2+ A_(n_ -2)x + A_(n_ -1) =$
$= (x^n + a_1 x^(n-1)+ a_2 x^(n-2)+....+a_(n_-2)x^2+a_(n_-1)x+a_n)/(x-k)$
con il teorema delle ridotte è possibile calcolare direttamente il valore dei coefficienti con le formule:
$A_1= k+a_1$
$A_2= A_1k+a_2$
$................$
$A_(n_ -2)=A_(n_ -3)k + a_(n_ -2)$
$A_(n_ -1)=A_(n_ -2)k + a_(n_ -1)$
Esempio:
Sia abbia una equazione di quinto grado:
$x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5$
$a_1= -15$
$a_2= 85$
$a_3= -255$
$a_4= 274$
$a_5= -120$
Sia ora, K=2 una delle radici dell'equazione e quindi i coefficienti della ridotta:
$A_1= k+a_1 = -13$
$A_2= A_1k+a_2 = 59$
$A_3=A_2k+a_3=-107$
$A_4=A_3k+A_4=60$
La ridotta sarà quindi:
$x^4-13x^3+59x^2-107x+60=0
si procede poi nello stesso modo per l'equazione di quarto grado. alla fine otterremo le radici:
$x_1= 1$
$x_2=3$
$x_3=4$
$x_4=5$
Io personalmente non so quanto sia valida questa teoria...però il prof. Bellia è convinto di tutto questo..
voi cosa ne pensate??
Quelle che hai postato non sono di certo le soluzioni dell'equazione di partenza.
"giuseppe87x":
Quelle che hai postato non sono di certo le soluzioni dell'equazione di partenza.
L'equazione di partenza, tra l'altro, ha una sola radice reale che non è uguale a nessuno dei valori indicati .
Comunque mi interesserebbe vedere come si prova una cosa del genere.
ci penso stanotte e doma posterò ilresponso 
ci ho pensato e non ci sono riuscito
suggerimento: pensate a come si risolve per radicali il polinomio generico di terzo grado.
L'equazione da risolvere per radicali è : $x^5-*5x^4+5x^3+5x^2-5x-5=0$.
Seguo il suggerimento :
Applico lo stesso procedimento che si usa per le equazioni di terzo grado per far annullare il termine di secondo grado , in questo caso si pone :
$x= (y-(1/5)*(-5 ))=y+1 $ cioè $ x = ( y-(1/n)*a_4) $ essendo n il grado del polinomio e $ a_4$ il coefficiente del termine di quarto grado.
Svolgendo i calcoli si ottiene : $y^5-5y^3+5y-4 = 0$ ; il termine di quarto grado si è annullato.. e adesso ....?
Seguo il suggerimento :
Applico lo stesso procedimento che si usa per le equazioni di terzo grado per far annullare il termine di secondo grado , in questo caso si pone :
$x= (y-(1/5)*(-5 ))=y+1 $ cioè $ x = ( y-(1/n)*a_4) $ essendo n il grado del polinomio e $ a_4$ il coefficiente del termine di quarto grado.
Svolgendo i calcoli si ottiene : $y^5-5y^3+5y-4 = 0$ ; il termine di quarto grado si è annullato.. e adesso ....?
benissimo; a questo punto, (come per risolvere l'eq cubica) si pone $y=u+v$ e si trova un'equazione di secondo grado che ha $u$ e $v$ come radici.
Se volete posto la soluzione.
Se volete posto la soluzione.
Seguendo le indicazioni di Ficus ed il calcolo di Camillo,ho:
$y=u+v$
Da cui elevando alla quinta:
$y^5=u^5+v^5+5u^4v+5uv^4+10u^3v^2+10u^2v^3$
Oppure:
$y^5=u^5+v^5+5uv(u^3+v^3)+10u^2v^2(u+v)$
Ovvero:
$y^5=u^5+v^5+5uv[(u+v)^3-3uv(u+v)]+10u^2v^2(u+v)=$
$=u^5+v^5+5uv(u+v)^3-5u^2v^2(u+v)$
Poiche' u+v=y risulta:
$y^5-5(uv)y^3+5(uv)^2y-(u^5+v^5)=0$
Confrontando con l'equazione di Camillo si ricava che deve essere:
$u^5+v^5=4,uv=1$ od anche:$u^5+v^5=4,u^5v^5=1$
Com'e' noto tale sistema si risolve con l'equazione:
$t^2-4t+1=0$ dove t rappresenta $u^5$ o $v^5$
Pertanto
$u^5=2-sqrt3,v^5=2+sqrt3$ da cui $u=root[5](2-sqrt3),v=root[5](2+sqrt3$
o viceversa,
In definitiva si ricava che:
$x=1+root[5](2-sqrt3)+root[5](2+sqrt3$
Calcolando tutte le determinazioni (reali o complesse) delle radici quinte
si ottengono le radici del polinomio mediante radicali.
karl
$y=u+v$
Da cui elevando alla quinta:
$y^5=u^5+v^5+5u^4v+5uv^4+10u^3v^2+10u^2v^3$
Oppure:
$y^5=u^5+v^5+5uv(u^3+v^3)+10u^2v^2(u+v)$
Ovvero:
$y^5=u^5+v^5+5uv[(u+v)^3-3uv(u+v)]+10u^2v^2(u+v)=$
$=u^5+v^5+5uv(u+v)^3-5u^2v^2(u+v)$
Poiche' u+v=y risulta:
$y^5-5(uv)y^3+5(uv)^2y-(u^5+v^5)=0$
Confrontando con l'equazione di Camillo si ricava che deve essere:
$u^5+v^5=4,uv=1$ od anche:$u^5+v^5=4,u^5v^5=1$
Com'e' noto tale sistema si risolve con l'equazione:
$t^2-4t+1=0$ dove t rappresenta $u^5$ o $v^5$
Pertanto
$u^5=2-sqrt3,v^5=2+sqrt3$ da cui $u=root[5](2-sqrt3),v=root[5](2+sqrt3$
o viceversa,
In definitiva si ricava che:
$x=1+root[5](2-sqrt3)+root[5](2+sqrt3$
Calcolando tutte le determinazioni (reali o complesse) delle radici quinte
si ottengono le radici del polinomio mediante radicali.
karl
perfetto
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