Polinomio complesso :)

[Kashaman]

Vi propongo un'altro esercizio.
Siano dati i seguenti polinomi a coefficienti interi.
$f(X) = x^9368033040-x^1171004130+x^2-1$
$g(x) = x^4+x^3+x^2+x$.
Si sa che $g(x) $ ha due radici reali e due complesse.
Dimostrare che $f(x) $ ha con $g(x)$ due radici complesse comuni. Mentre ha una sola radice reale comune con $f(x)$.


Suggerimento :

Tenete presente che $i^1=1 , i^2 = -1 , i^3=-i , i^4=1$

Buon divertimento.

[UmbertoM1]

$g(x)=x(x+1)(x^2+1)$ le cui radici reali sono $0$ e $-1$, e si verifica che soltanto quest'ultima è in comune con $f(x)$
Le due radici complesse sono invece $x_c=+-i$

[UmbertoM1]

Poiché quindi $i^2=-1$ e $i^4=1$
$9368033040$ è divisibile per per $4$, mentre $1171004130$ no, allora $i^9368033040=1$ mentre $i^1171004130=-1$
Dunque $1+1-1-1=0$ e quindi il polinomio si annulla per $i$ e $-i$

[Kashaman]

Very good.