Polinomi ed integrazione

[Sk_Anonymous]

Questo esercizio è moolto semplice se si imbrocca la strada giusta... Altrimenti potrebbe essere abbastanza tosto (salvo soluzioni elementari che non riesco a vedere).

Sia \(\displaystyle V=\mathbb{R}[X]_{\le 2} \) lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore od uguale a \(\displaystyle 2 \). Si dica se esiste (ed esibirlo, eventualmente!) un polinomio \(\displaystyle P(X) \in V \) t.c. \[\displaystyle Q(1/2)=\int^{1}_{0} P(x)Q(x) \; dx \qquad \forall \; Q(x) \in V \]

[totissimus]

Mi sembra un problema di carattere numerico.

Sia \( \displaystyle Q(x)=a x^2+b x+c \in V\)

Si deve avere \( \forall a,b,c \in \mathbb{R}\):

\(\displaystyle \frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c =\int_0^1 P(x) (ax^2+bx+c)dx \)

\( \displaystyle a\left( \int_0^1P(x)x^2dx-\frac{1}{4}\right)+b\left( \int_0^1P(x)xdx-\frac{1}{2}\right)+c\left( \int_0^1P(x)dx-1\right)=0\)

Data l'arbitrarietà di \( a,b,c\) dever risultare:

\( \displaystyle \int_0^1P(x)dx=1,\int_0^1P(x)xdx=\frac{1}{2},\int_0^1P(x)x^2dx=\frac{1}{4}\)

Dovendo essere \( P(x) \in V\) scriviamo:

\( P(x)=Ax^2+Bx+C\)

e le precedenti relazioni si trasformano in:

\( \displaystyle \frac{A}{3}+\frac{B}{2}+C=1\)

\( \displaystyle \frac{A}{4}+\frac{B}{3}+\frac{C}{2}=\frac{1}{2}\)

\( \displaystyle \frac{A}{5}+\frac{B}{4}+\frac{C}{3}=\frac{1}{4}\)

La soluzione del sistema lineare dovrebbe essere:


\( \displaystyle A=-15, B=15,C=-\frac{3}{2}\).

Esiste una soluzione più immediata ?

[Sk_Anonymous]

@totissimus:

La soluzione è corretta, anche se io avevo risolto formalizzandomi più verso l'algebra lineare e utilizzando qualche (pochissime, a dire il vero) nozione su spazi vettoriali e loro duali. Mi domandavo anche io se ci fosse soluzione più immediata, ma non mi son dato risposta.