Polinomi

[giannirecanati]

Dato il polinomio \(\displaystyle p(x) \) si sa che esistono quattro interi distinti \(\displaystyle a \), \(\displaystyle b \), \(\displaystyle c \) e \(\displaystyle d \) tali che: \(\displaystyle p(a)=p(b)=p(c)=p(d)=5 \).
Si dimostri che non esiste alcun intero \(\displaystyle k \) tale che \(\displaystyle p(k)=8 \).

[xXStephXx]

\(\displaystyle p(x) = q(x)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+5 \)

\(\displaystyle q(k)(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)=3 \)
Un fattore deve essere uguale a \(\displaystyle \pm 3 \). E gli altri devono essere uguali a -1 o 1. Si nota però che siccome i fattori che devono essere diversi tra loro sono 4, ci sarà più di un fattore uguale a -1 o più di un fattore uguale a 1. Ciò implica che ci sono degli interi uguali tra loro. Assurdo..

[Paolo902]

Suppongo tu prenda $p(x)$ a coefficienti interi.

Se così è, allora necessariamente $p(x)$ si scrive come $p(x)=q(x)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+5$, dove per ipotesi $a,b,c,d$ sono interi distinti. Se esistesse $k in ZZ$ tale che $p(k)=8$ si avrebbe $q(k)(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)+5=8$ cioè $q(k)(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)=3$ il che è chiaramente impossibile, (perchè gli unici divisori di 3 sono $\pm 1$ e $\pm 3$, ma l'ultimo può apparire solo una volta).

EDIT: scusami, xXStephXx, non avevo visto la tua risposta.

[giannirecanati]

Perfetto!