Polinomi
Dimostrare che per ogni numero pari $n\in NN$ il polinomio
$f(x)=1+x/(1!)+x^2/(2!)+x^3/(3!)+...+x^n/(n!)$
e' maggiore o uguale a zero per ogni $x\in RR$.
$f(x)=1+x/(1!)+x^2/(2!)+x^3/(3!)+...+x^n/(n!)$
e' maggiore o uguale a zero per ogni $x\in RR$.
Risposte
Per $n->infty$ abbiamo la serie esponenziale $f(x)=sum_(k=0)^(+infty) x^k/(k!)=e^x $ convergente per $x\inRR$, e con $f(x)>0, AAx\inRR$.
Sia $n=2barn$ e detta $S_(2barn)$ la somma parziale di indice pari, evidentemente sarà $S_(2barn)$ per $x>0$.
Per $x<0$ abbiamo una serie numerica a segno alterno:
$sum_(k=0)^infty (-1)^k|x|^k/(k!)$, che è convergente per il criterio di Leibniz. Considerando la serie troncata ad una somma di indice pari $S_(2barn)$, per il criterio di Leibniz possiamo dire che $S_(2barn)>S>0$.
Sia $n=2barn$ e detta $S_(2barn)$ la somma parziale di indice pari, evidentemente sarà $S_(2barn)$ per $x>0$.
Per $x<0$ abbiamo una serie numerica a segno alterno:
$sum_(k=0)^infty (-1)^k|x|^k/(k!)$, che è convergente per il criterio di Leibniz. Considerando la serie troncata ad una somma di indice pari $S_(2barn)$, per il criterio di Leibniz possiamo dire che $S_(2barn)>S>0$.
"luca.barletta":
Per $n->infty$ abbiamo la serie esponenziale $f(x)=sum_(k=0)^(+infty) x^k/(k!)=e^x $ totalmente convergente in $RR$, e con $f(x)>0, AAx\inRR$.
una precisazione (ci sono i bambini che leggono queste cose, non bisogna correre il rischio di traviarli... )
la serie non converge totalmente (non converge neanche uniformemente) su $RR$, ma su ogni intervallo limitato di $RR$
"Fioravante Patrone":
[quote="luca.barletta"]Per $n->infty$ abbiamo la serie esponenziale $f(x)=sum_(k=0)^(+infty) x^k/(k!)=e^x $ totalmente convergente in $RR$, e con $f(x)>0, AAx\inRR$.
(ci sono i bambini che leggono queste cose, [/quote]
metto il bollino rosso o edito? magari vado per la seconda
perchè non dovrebbe convergere totalmente? 
visto, luca.barletta, che ho fatto bene? 
Su $RR$ il sup delle differenze tra $e^x$ e una qualunque ridotta $n$-esima è $+oo$.
Quindi non si ha convergenza uniforme, ergo neanche totale
Su $RR$ il sup delle differenze tra $e^x$ e una qualunque ridotta $n$-esima è $+oo$.
Quindi non si ha convergenza uniforme, ergo neanche totale
"luca.barletta":
Considerando la serie troncata ad una somma di indice pari $S_(2barn)$, per il criterio di Leibniz possiamo dire che $S_(2barn)>S>0$.
Luca, il criterio di Leibniz richiede che la successione dei termini in modulo della sommatoria sia decrescente, cosa che per certi $x$ non e' vera. E' chiaro che la successione da un certo punto in poi e' effettivamente decrescente, ma proprio per questo motivo un semplice appello al criterio di Leibniz non basta per dimostrare che $S_(2bar n)>S$. Ricordiamoci che ci sono dei bambini
"Fioravante Patrone":
Su $RR$ il sup delle differenze tra $e^x$ e una qualunque ridotta $n$-esima è $+oo$.
Quindi non si ha convergenza uniforme, ergo neanche totale
$lim_(ntoinfty)abs(f_n(x)-f(x))=0$ per xinRR per cui si ha convergenza uniforme.
"mathematicus":
[quote="Fioravante Patrone"]Su $RR$ il sup delle differenze tra $e^x$ e una qualunque ridotta $n$-esima è $+oo$.
Quindi non si ha convergenza uniforme, ergo neanche totale
$lim_(ntoinfty)abs(f_n(x)-f(x))=0$ per xinRR per cui si ha convergenza uniforme.[/quote]
ti sei dimenticato un "sup"
meglio che ti ripassi la definizione di convergenza uniforme...
quella serie è uniformemente convergente su un intervallo grande quanto si vuole di $RR$ indi su tutto $RR$.
"quella serie è uniformemente convergente su un intervallo grande quanto si vuole di ℝ indi su tutto ℝ."
NO
NO
basta crederci. se lo dici tu...
a me sembra che il limite dei sup va a zero..
a me sembra che il limite dei sup va a zero..
"mathematicus":
basta crederci. se lo dici tu...
a me sembra che il limite dei sup va a zero..
guarda, per me va bene anche se tu pensi che la luna sia fatta di formaggio:
http://it.wikipedia.org/wiki/Utente:Twi ... ertissment
quanto al fatto che ti "sembra", la matematica non è (solo) sensazioni
se davvero ti interessano 'ste cose, prova a dimostrarlo che il "sup" va a zero
Questo 3d si sta trasformando in un ping-pong. Vediamo di dare un metodo alternativo (child-proof):
sia $S_(2n)(x)=sum_(k=0)^(2n) x^k/(k!)$ e si ragioni per induzione; per $n=1$ la proprietà è verificata, infatti
$S_2(x)=x^2/2+x+1$ è una parabola sempre positiva.
Se è vera per $n$, mostriamo che è valida per $n+1$:
da $S_(2n+2)^('')(x)=S_(2n)(x)>0$ si può facilmente vedere che $S_(2n+2)(x)$ ammette un solo punto di minimo, e per calcolarlo basta imporre $S_(2n+2)^{\prime}(x)=S_(2n+1)(x)=0$; sia $barx: S_(2n+1)(barx)=0$, allora la quota del punto di minimo vale $S_(2n+2)(barx)=S_(2n+1)(barx)+(barx)^(2n+2)/((2n+2)!)=(barx)^(2n+2)/((2n+2)!)>0$, quindi $S_(2n+2)(x)>0, AAx\inRR$.
sia $S_(2n)(x)=sum_(k=0)^(2n) x^k/(k!)$ e si ragioni per induzione; per $n=1$ la proprietà è verificata, infatti
$S_2(x)=x^2/2+x+1$ è una parabola sempre positiva.
Se è vera per $n$, mostriamo che è valida per $n+1$:
da $S_(2n+2)^('')(x)=S_(2n)(x)>0$ si può facilmente vedere che $S_(2n+2)(x)$ ammette un solo punto di minimo, e per calcolarlo basta imporre $S_(2n+2)^{\prime}(x)=S_(2n+1)(x)=0$; sia $barx: S_(2n+1)(barx)=0$, allora la quota del punto di minimo vale $S_(2n+2)(barx)=S_(2n+1)(barx)+(barx)^(2n+2)/((2n+2)!)=(barx)^(2n+2)/((2n+2)!)>0$, quindi $S_(2n+2)(x)>0, AAx\inRR$.
Ok, Luca, ora sì che ci siamo! 
Ottima prova. Comunque, si può evitare l'induzione osservando che $S_(n+2)(x)$ ha necessariamente un punto di minimo in quanto e' di grado pari (che sia unico o no, non importa)
Ottima prova. Comunque, si può evitare l'induzione osservando che $S_(n+2)(x)$ ha necessariamente un punto di minimo in quanto e' di grado pari (che sia unico o no, non importa)
Ne propongo uno facile sulla scia di quello di fields. Dimostrare che la $f(x)$ sopra non ammette radici multiple, per ogni $n \in NN$.
"Fioravante Patrone":
quanto al fatto che ti "sembra", la matematica non è (solo) sensazioni
se davvero ti interessano 'ste cose, prova a dimostrarlo che il "sup" va a zero
perchè non lo dimostri tu che sei l'esperto?
problema dimostrare che : $lim_(ntoinfty)text(sup)|sum_(i=0)^n(x^i/(i!))-e^x|ne0$
proposto anche anche come esercizio.
"mathematicus":
[quote="Fioravante Patrone"]
quanto al fatto che ti "sembra", la matematica non è (solo) sensazioni
se davvero ti interessano 'ste cose, prova a dimostrarlo che il "sup" va a zero
perchè non lo dimostri tu che sei l'esperto?
problema dimostrare che : $lim_(ntoinfty)text(sup)|sum_(i=0)^n(x^i/(i!))-e^x|ne0$
proposto anche anche come esercizio.
[/quote]non so nemmeno bene perchè passo da queste parti, cmq mathematicus fissa l'n, cosa vedi? un confronto tra un esponenziale ed una funzione polinomiale... è naturale che (ad n fissato) per x che tende ad infinito l'esponenziale batterà di gran lunga la polinomiale... ed il sup è quindi ben diverso da 0...
se per n fissato funge così, al limite non cambierà nulla...
per n fissato... peccato che n tenda ad infinito.
allora perchè questo raginamento sarebbe sbagliato?:
$lim_(ntooo)text(sup)|sum_(i=0)^n(x^i/(i!))-e^x|=text(sup)|lim_(ntooo)(sum_(i=0)^n(x^i/(i!)))-e^x|=text(sup)|e^x-e^x|=text(sup)(0)=0$?
è naturale, per un qualsiasi intervallo fissato la serie è uniformemente convercente, quindi anche per un intervallo tendente ad infinito, infatti è lecito integrare su R la serie di potenze e portere il limite dentro l'integrale.
allora perchè questo raginamento sarebbe sbagliato?:
$lim_(ntooo)text(sup)|sum_(i=0)^n(x^i/(i!))-e^x|=text(sup)|lim_(ntooo)(sum_(i=0)^n(x^i/(i!)))-e^x|=text(sup)|e^x-e^x|=text(sup)(0)=0$?
è naturale, per un qualsiasi intervallo fissato la serie è uniformemente convercente, quindi anche per un intervallo tendente ad infinito, infatti è lecito integrare su R la serie di potenze e portere il limite dentro l'integrale.
Usando la funzione "cerca" per altri motivi mi sono imbattuto in questo thread ormai dimenticato.
Mi corre l'obbligo di osservare, per la rispettabilità del forum, che le affermazioni contenute nell'ultimo post di mathematicus sono scorrette.
Mi corre l'obbligo di osservare, per la rispettabilità del forum, che le affermazioni contenute nell'ultimo post di mathematicus sono scorrette.
"Fioravante Patrone":
Usando la funzione "cerca" per altri motivi mi sono imbattuto in questo thread ormai dimenticato.
Mi corre l'obbligo di osservare, per la rispettabilità del forum, che le affermazioni contenute nell'ultimo post di mathematicus sono scorrette.
Ovviamente perchè, come già osservato da Thomas, risulta:
$AA n in NN, "sup"_(x\in RR) |e^x-\sum_(k=0)^n x^k/(k!)|=+oo$.
Ad ogni modo, FP con questa ti poni appena al di sotto di George Romero...
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