Poligono regolare di 33 lati

[Camillo]

Determinare la probabilità che 3 vertici scelti a caso fra quelli di un poligono regolare di 33 lati individuino un triangolo rettangolo.

[ Non conosco la soluzione ]

[yellow2]

Ma scusa, disegnata la circonfenza circoscritta, un triangolo inscritto in essa non deve avere un diametro come ipotenusa? In questo caso sarebbe impossibile perchè il numero di vertici del poligono è dispari.

EDIT: ovviamente, triangolo rettangolo

[cenzo1]

Sono d'accordo con yellow.
Se invece il poligono regolare ha un numero pari $n$ di lati, direi che la probabilità richiesta è $3/(n-1)$

[Camillo]

"yellow":Ma scusa, disegnata la circonfenza circoscritta, un triangolo inscritto in essa non deve avere un diametro come ipotenusa? In questo caso sarebbe impossibile perchè il numero di vertici del poligono è dispari.

EDIT: ovviamente, triangolo rettangolo

Come ho scritto il testo sul Forum ho realizzato che nel caso di n dispari è impossibile.
La risposta per n pari la devo considerare ancora...

[milizia96]

Perchè cenzo afferma che la probabilità (con $n$ pari) è uguale a $3/(n-1)$ ?
A me a occhio sembra $2/(n-2)$ ...

[An0nym0us1]

Ho provato per l'esegono ed è corretto $3/(n-1)$ I vertici sono 6, quindi i triangoli possibili sono $(6!)/(3!^2) = 20$ I casi favorevoli sono 12, quindi 12/20 = 3/5.
Dopo cerco di dimostrarlo in generale.

[yellow2]

Anche io sono d'accordo con $3/(n-1)$. Fissato un vertice, ho usato a intuito la formula:

$P(AuuB)=P(A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})$

($A$ è "secondo vertice opposto al primo", $B$ è "terzo vertice opposto a uno dei primi due")

Qualcuno me la giustifica o me la confuta? Magari più tardi sennò ci penso, adesso devo studiare e non mi va di perdermi in cose che non ricordo .

EDIT: ok ci sono:

$P(AuuB)=P(A)+P(B)-P(AnnB)=P(A)+P(BnnA)+P(Bnn\bar{A})-P(AnnB)=P(A)+P(Bnn\bar{A})=P(A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})$

[milizia96]

E' vero la probabilità è $3/(n-1)$.
Infatti i casi favorevoli sono $(n(n-2))/2$ mentre i casi possibili sono $(n(n-1)(n-2))/6$ , e facendo il rapporto si ottiene proprio $3/(n-1)$.