Poligono 101 lati e diagonali ogni 31
Salve a tutti ho questo problemino che ho trovato in cui non so che pesci pigliare negli ultimi 3 punti
Grazie infinite a chiunque mi potesse dare un buona dimostrazione e/o suggerimenti e/o fonti per eventuali approfondimenti su cose del genere
Dato un poligono regolare P avente 101 lati, indichiamo, in senso orario, i suoi vertici con V0, V1, V2,
... , V99, V100. Si tracciano le 101 diagonali V0V31, V1V32, V2V33, e così via, sempre procedendo di 31
passi, fino a V100V30.
(a) Partendo da V0 e procedendo da vertice a vertice in senso orario lungo le diagonali tracciate, quante
diagonali si saranno percorse quando si tornera in V0 per la prima volta?
(b) Esistono punti interni a P per cui passano tre delle diagonali tracciate?
(c) Quanti sono in tutto i punti di intersezione interni a P tra le varie diagonali tracciate?
(d) Indicando, per n >= 3, con Rn il numero di regioni aventi n lati che si sono ottenute in P dopo aver
tracciato le varie diagonali, stabilire tutti i valori R3, R4, R5, R6, etc.
Grazie infinite a chiunque mi potesse dare un buona dimostrazione e/o suggerimenti e/o fonti per eventuali approfondimenti su cose del genere
Dato un poligono regolare P avente 101 lati, indichiamo, in senso orario, i suoi vertici con V0, V1, V2,
... , V99, V100. Si tracciano le 101 diagonali V0V31, V1V32, V2V33, e così via, sempre procedendo di 31
passi, fino a V100V30.
(a) Partendo da V0 e procedendo da vertice a vertice in senso orario lungo le diagonali tracciate, quante
diagonali si saranno percorse quando si tornera in V0 per la prima volta?
(b) Esistono punti interni a P per cui passano tre delle diagonali tracciate?
(c) Quanti sono in tutto i punti di intersezione interni a P tra le varie diagonali tracciate?
(d) Indicando, per n >= 3, con Rn il numero di regioni aventi n lati che si sono ottenute in P dopo aver
tracciato le varie diagonali, stabilire tutti i valori R3, R4, R5, R6, etc.
Risposte
(b) Tutte le diagonali hanno la stessa distanza dal centro, quindi sono tutte tangenti a una circonferenza, ma le rette tangenti a una circonferenza e passanti per un punto sono al massimo due.
(c) Per il punto precedente basta contare i punti di intersezione di una diagonale fissata con le altre.
(d) Per ora dò solo un hint: i punti di intersezione delle diagonali sono disposti su alcune circonferenze concentriche (perché?). Come si collegano i punti che giacciono su due circonferenze "consecutive"?
(c) Per il punto precedente basta contare i punti di intersezione di una diagonale fissata con le altre.
(d) Per ora dò solo un hint: i punti di intersezione delle diagonali sono disposti su alcune circonferenze concentriche (perché?). Come si collegano i punti che giacciono su due circonferenze "consecutive"?
(c) 30 intersezioni per diagonale, 101 diagonali --> 30x101/2=1515
(d) allora da ogni punto di una circonferenza passano 2 diagonali una che va verso "destra" e una verso "sinistra" che si intersecano con la circonferenza successivamente più piccola dopodichè da questi due punti passano sicuramente altre 2 diagonali che si ricongiungono in un punto... quindi si formano solo quadrilateri tranne per la zona centrale e i triangolini esterni ed interni.
quindi R3=202, R101=1, R4= (30-2)*101/2 ... credo
Grazie mille delle spiegazioni
(d) allora da ogni punto di una circonferenza passano 2 diagonali una che va verso "destra" e una verso "sinistra" che si intersecano con la circonferenza successivamente più piccola dopodichè da questi due punti passano sicuramente altre 2 diagonali che si ricongiungono in un punto... quindi si formano solo quadrilateri tranne per la zona centrale e i triangolini esterni ed interni.
quindi R3=202, R101=1, R4= (30-2)*101/2 ... credo
Grazie mille delle spiegazioni
"ollyolly":
(c) 30 intersezioni per diagonale
In realtà 60, se non mi sto perdendo qualcosa...
Cavolo si direi anch'io ahhaha
avevo già fatto la metà e non mi ero reso conto
e quindi anche R4=(60-2)*101/2
avevo già fatto la metà e non mi ero reso conto
e quindi anche R4=(60-2)*101/2
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo