P.I.M.
Applicazione del Principio di Induzione Matematica.
Tesi:
Ogni gruppo di $n$ persone è costituito da individui tutti dello stesso sesso.
Dimostrazione:
Passo Base: È evidente che in un "gruppo" formato da una sola persona tutti i membri sono dello stesso sesso. Quindi $P(1)$ è vera.
Passo Induttivo: Dato per ipotesi che la tesi sia vera per ogni insieme composto da $n$ persone, prendiamo un insieme $A$ formato da $n+1$ persone, quindi $A={a_1,a_2,...,a_n,a_(n+1)}$.
Formiamo gli insiemi $B$ e $C$ composti da $n$ persone nel modo seguente: $B={a_1,a_2,...,a_(n-1),a_n}$ e $C={a_2,...,a_(n-1),a_n, a_(n+1)}$.
Per l'ipotesi induttiva sia $B$ che $C$, essendo composti da $n$ elementi, sono formati da membri tutti dello stesso sesso e dato che hanno elementi comuni questi sono tutti dello stesso sesso e quindi anche $a_1$ e $a_(n+1)$ sono dello stesso degli altri.
Quindi anche il passo induttivo è dimostrato.
Si conclude che la tesi è vera.
Cordialmente, Alex
Tesi:
Ogni gruppo di $n$ persone è costituito da individui tutti dello stesso sesso.
Dimostrazione:
Passo Base: È evidente che in un "gruppo" formato da una sola persona tutti i membri sono dello stesso sesso. Quindi $P(1)$ è vera.
Passo Induttivo: Dato per ipotesi che la tesi sia vera per ogni insieme composto da $n$ persone, prendiamo un insieme $A$ formato da $n+1$ persone, quindi $A={a_1,a_2,...,a_n,a_(n+1)}$.
Formiamo gli insiemi $B$ e $C$ composti da $n$ persone nel modo seguente: $B={a_1,a_2,...,a_(n-1),a_n}$ e $C={a_2,...,a_(n-1),a_n, a_(n+1)}$.
Per l'ipotesi induttiva sia $B$ che $C$, essendo composti da $n$ elementi, sono formati da membri tutti dello stesso sesso e dato che hanno elementi comuni questi sono tutti dello stesso sesso e quindi anche $a_1$ e $a_(n+1)$ sono dello stesso degli altri.
Quindi anche il passo induttivo è dimostrato.
Si conclude che la tesi è vera.
Cordialmente, Alex
Risposte
senza "...e dato..." sarebbe meno evidente.
Ciao
B.
Ciao
B.
non fa una piega... in effetti è vero anche che 1=2...
Eh no, caro ...
La tua uguaglianza è vera solo in un punto nel quale, guarda caso, anche le derivate sono uguali ...
Dov'è la falla nel mio? ...
Cordialmente, Alex
La tua uguaglianza è vera solo in un punto nel quale, guarda caso, anche le derivate sono uguali ...
Dov'è la falla nel mio? ...
Cordialmente, Alex
secondo me, la "base" deve essere $P(2)$, se si considerano due possibili sessi, ...,
anche perché è falso il passaggio utilizzato da n a n+1 per passare da 1 a 2.
EDIT:
"se un poligono ha n lati allora ha n angoli".... si parte dai triangoli
se consideri un segmento come poligono, la tesi è falsa
ciao!
anche perché è falso il passaggio utilizzato da n a n+1 per passare da 1 a 2.
EDIT:
"se un poligono ha n lati allora ha n angoli".... si parte dai triangoli
se consideri un segmento come poligono, la tesi è falsa
ciao!
Come hai giustamente detto l'errore consiste nel fatto che $P(1)$ non implica $P(2)$ cioè la dimostrazione del passo induttivo non è valida per ogni $n$ come invece dovrebbe essere. D'altra parte il passo base è falso per ogni $n>1$ ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Dirò una sciocchezza quasi certamente, ma la falla non è ancora più a monte? E cioè nel fatto che il predicato non dipende da $n$, dato che n costituisce solo la cardinalità dell'insieme i cui elementi hanno proprietà diverse (maschio, femmina)??
No, perché il principio di induzione non ti "chiede" di indagare le "caratteristiche" dell'insieme (cosa che eventualmente fai nella dimostrazione) ma solo di applicare due condizioni: se verificate la proprietà è dimostrata.
Nel caso in questione è la dimostrazione che non funziona (apparentemente corretta) non il principio.
Detto in altri termini: il passo base ti chiede di verificare la validità della proprietà per il valore base; nel nostro caso si può fare e ha esito positivo. Il passo induttivo ti dice di "supporre" valida la proprietà per un generico intero $n$, nient'altro, quindi non puoi ma neppure DEVI indagare se questo sia vero oppure no, devi accettare per buona l'ipotesi e ragionare sulla base di questa (d'altra parte se fossi in grado di conoscere la validità della proprietà a priori il PIM sarebbe inutile e la sua forza sta invece proprio nel "non aver bisogno" di nient'altro che quell'ipotesi).
E difatti la falla sta nella dimostrazione, la quale è "buona" di per sé, peccato non sia "utilizzabile" per tutti i possibili $n$.
Cordialmente, Alex
Nel caso in questione è la dimostrazione che non funziona (apparentemente corretta) non il principio.
Detto in altri termini: il passo base ti chiede di verificare la validità della proprietà per il valore base; nel nostro caso si può fare e ha esito positivo. Il passo induttivo ti dice di "supporre" valida la proprietà per un generico intero $n$, nient'altro, quindi non puoi ma neppure DEVI indagare se questo sia vero oppure no, devi accettare per buona l'ipotesi e ragionare sulla base di questa (d'altra parte se fossi in grado di conoscere la validità della proprietà a priori il PIM sarebbe inutile e la sua forza sta invece proprio nel "non aver bisogno" di nient'altro che quell'ipotesi).
E difatti la falla sta nella dimostrazione, la quale è "buona" di per sé, peccato non sia "utilizzabile" per tutti i possibili $n$.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
E difatti la falla sta nella dimostrazione, la quale è "buona" di per sé,
Per esser "buona" dovrebbe essere emendata dell'affermazione "... e dato che hanno elementi in comune...".Ciao
B.
Ciao Alex,
ho ben capito quello che vuoi dire, ma se qualcuno mi dicesse di dimostrare questo esercizio col principio di induzione, semplicemente gli direi che non ha senso perché la proprietà di essere maschi, femmine non dipende dall'n scelto.
O meglio, il Principio di Induzione è valido quando il predicato dipende unicamente da n. Ma in questo caso non dipende unicamente da n, per questo ritengo che la falla sta a monte, ovverosia di aver utilizzato uno strumento che non indaga sulla natura dell'insieme. In sostanza, la qualità che vogliamo dimostrare è indipendente da n o, a voler esagerare, la domanda è stata formulata in maniera sbagliata.
Mi viene in mente, a tal proposito, il Paradosso di Tarskii che è un esempio di applicazione sbagliata del Principio di Induzione.
Infatti, in quel caso, si potrebbe dimostrare che tutti i numeri reali sono uguali a zero.
PS
In un certo senso l'errore è dovuto proprio nell'interpretazione dell'insieme in questione, perché $P(1)$ non ha senso ritenerla vera, dato che $P(1)$ può riferirsi a due proposizioni mutuamente esclusive.
Avrebbe senso, semmai, vedere $P(2)$ ma, come detto prima, è come dire che stiamo mischiando mele con pere: stiamo studiando il problema nella maniera sbagliata.
ho ben capito quello che vuoi dire, ma se qualcuno mi dicesse di dimostrare questo esercizio col principio di induzione, semplicemente gli direi che non ha senso perché la proprietà di essere maschi, femmine non dipende dall'n scelto.
O meglio, il Principio di Induzione è valido quando il predicato dipende unicamente da n. Ma in questo caso non dipende unicamente da n, per questo ritengo che la falla sta a monte, ovverosia di aver utilizzato uno strumento che non indaga sulla natura dell'insieme. In sostanza, la qualità che vogliamo dimostrare è indipendente da n o, a voler esagerare, la domanda è stata formulata in maniera sbagliata.
Mi viene in mente, a tal proposito, il Paradosso di Tarskii che è un esempio di applicazione sbagliata del Principio di Induzione.
Infatti, in quel caso, si potrebbe dimostrare che tutti i numeri reali sono uguali a zero.
PS
In un certo senso l'errore è dovuto proprio nell'interpretazione dell'insieme in questione, perché $P(1)$ non ha senso ritenerla vera, dato che $P(1)$ può riferirsi a due proposizioni mutuamente esclusive.
Avrebbe senso, semmai, vedere $P(2)$ ma, come detto prima, è come dire che stiamo mischiando mele con pere: stiamo studiando il problema nella maniera sbagliata.
@orsoulx
Quel "buona" stava solo per "apparentemente valida", niente di più ...
@Black Magic
Dissento, mi sembra che tu sia proprio fuori strada e non perché tu stia dicendo cose sbagliate ma perché non mi pare che tu abbia colto l'essenza ...
Prima di tutto lo scopo non era certo quello di dimostrare una cosa "ovviamente" falsa ma nello stimolare la ricerca del punto errato.
Poi ... non c'entra niente il fatto che il predicato non dipenda solo da $n$ bensì da altri fattori: se tu riesci a dimostrarne la validità col PIM allora il predicato è VERO; non fosse così significa che il PIM funziona un po' sì e un po' no (come le frecce) e non avrebbe più nessuna utilità ... ti stai lasciando fuorviare dall'ovvia falsità della questione ma quando applichi il PIM questo NON ti deve minimante riguardare, faresti un grave errore ... nell'applicazione devi utilizzare SOLAMENTE quanto afferma il PIM: quindi nel passo induttivo l'ipotesi DEVE essere assunta per vera, per definizione, anche se ti può sembrare più falsa di una banconota da $125\ €$, non devi indagare sull'ipotesi ma devi dimostrare la tesi con quello che hai. Se ci riesci (unitamente al passo base) allora il predicato è dimostrato. Punto.
In merito al PS ti sbagli: il predicato affermava che ogni insieme di $n$ persone è formate da persone dello stesso sesso, non che fosse formato da tutti maschi o tutte femmine; quindi $P(1)$ è vera perché ogni insieme formato da una sola persona è composto SICURAMENTE da individui tutti dello stesso sesso (non ti pare? )
Cordialmente, Alex
Quel "buona" stava solo per "apparentemente valida", niente di più ...
@Black Magic
Dissento, mi sembra che tu sia proprio fuori strada e non perché tu stia dicendo cose sbagliate ma perché non mi pare che tu abbia colto l'essenza ...
Prima di tutto lo scopo non era certo quello di dimostrare una cosa "ovviamente" falsa ma nello stimolare la ricerca del punto errato.
Poi ... non c'entra niente il fatto che il predicato non dipenda solo da $n$ bensì da altri fattori: se tu riesci a dimostrarne la validità col PIM allora il predicato è VERO; non fosse così significa che il PIM funziona un po' sì e un po' no (come le frecce) e non avrebbe più nessuna utilità ... ti stai lasciando fuorviare dall'ovvia falsità della questione ma quando applichi il PIM questo NON ti deve minimante riguardare, faresti un grave errore ... nell'applicazione devi utilizzare SOLAMENTE quanto afferma il PIM: quindi nel passo induttivo l'ipotesi DEVE essere assunta per vera, per definizione, anche se ti può sembrare più falsa di una banconota da $125\ €$, non devi indagare sull'ipotesi ma devi dimostrare la tesi con quello che hai. Se ci riesci (unitamente al passo base) allora il predicato è dimostrato. Punto.
In merito al PS ti sbagli: il predicato affermava che ogni insieme di $n$ persone è formate da persone dello stesso sesso, non che fosse formato da tutti maschi o tutte femmine; quindi $P(1)$ è vera perché ogni insieme formato da una sola persona è composto SICURAMENTE da individui tutti dello stesso sesso (non ti pare?
)Cordialmente, Alex
Poi ... non c'entra niente il fatto che il predicato non dipenda solo da n bensì da altri fattori: se tu riesci a dimostrarne la validità col PIM allora il predicato è VERO; non fosse così significa che il PIM funziona un po' sì e un po' no (come le frecce) e non avrebbe più nessuna utilità ... ti stai lasciando fuorviare dall'ovvia falsità della questione ma quando applichi il PIM questo NON ti deve minimante riguardare, faresti un grave errore
Non ho detto questo. Ritengo che il Principio di Induzione sia applicabile per predicati che dipendono unicamente da $n$.
Quel predicato non dipende solo da $n$, non ha senso applicare il principio di Induzione perché la natura degli insiemi dati è indipendente dalla sua cardinalità.
In sostanza, l'interpretazione corretta alla dimostrazione che fai è "sto supponendo che ogni insieme di persone abbia stesso sesso" - perché non è vero che $P(1)$ è sempre lo stesso, non so se rendo l'idea: esiste semmai $P(1,M)$, $P(1, F)$ - e dimostri che è vero qualsiasi sia la sua cardinalità. Ed è ovviamente sempre vero, perché è una tautologia (perché hai fissato la seconda variabile). Sottolineo, con questo, che non sto dicendo che il procedimento che hai usato ha errori. Ribadisco che l'errore è a monte, nell'interpretazione della domanda. Non ho posto dubbi sull'ipotesi di induzione...
Ma ripeto che potrei avere detto stupidaggini senza precedenti; volevo solo chiarire questo aspetto della mia osservazione.
In merito al PS ti sbagli: il predicato affermava che ogni insieme di n persone è formate da persone dello stesso sesso, non che fosse formato da tutti maschi o tutte femmine; quindi P(1) è vera perché ogni insieme formato da una sola persona è composto SICURAMENTE da individui tutti dello stesso sesso (non ti pare?
Sottolineo, ancora una volta, che non intendevo assolutamente dire questo.
Ribadisco quello che ho detto all'inizio: l'errore è proprio dovuto al fatto che il predicato è formulato male, o meglio: non è scritto bene e ne consegue una interpretazione errata, non che tu abbia sbagliato la dimostrazione (che è corretta in quanto deve esserlo).
Grazie comunque per la pazienza.
"Black Magic":
Non ho detto questo. Ritengo che il Principio di Induzione sia applicabile per predicati che dipendono unicamente da $n$.
E sbagli ... (IMHO ovviamente). E non perché quello che dici non sia vero (non lo so e non saprei dimostrarlo) ma per un errore di concetto: quando usi il PIM devi attenerti a quello che esso dice, se indaghi altro NON stai usando il PIM ma altri metodi ... aggiungi altre considerazioni NON richieste ne necessarie; se ti viene richiesto di dimostrare qualcosa con quel Principio devi usare solo quello e se la dimostrazione ti riesce, hai dimostrato quel qualcosa per quanto assurdo possa sembrarti ... ok?
"Black Magic":
... In sostanza, l'interpretazione corretta alla dimostrazione che fai è "sto supponendo che ogni insieme di persone abbia stesso sesso" - perché non è vero che $ P(1) $ è sempre lo stesso, non so se rendo l'idea: esiste semmai $ P(1,M) $, $ P(1, F) $ -
E anche qui sbagli ...
... stai modificando il predicato a tuo uso e consumo: la tesi è "Ogni insieme fatto da $n$ persone (con $n>=1$) è formato da individui tutti dello stesso sesso" e nella dimostrazione devi attenerti ad essa.Quindi quando prendo un qualsiasi insieme formata da UNA persona, quell'insieme è composto da individui tutti dello stesso sesso perciò $P(1)$ è dimostrata. Da nessuna parte si è parlato di maschi e femmine ... detto in modo più grezzo se prendiamo l'insieme formato da mio padre è un insieme composto da "persone tutte dello stesso sesso", se prendo l'insieme formata da mia madre è un insieme composto da "persone tutte dello stesso sesso"; la distinzione che fai è un'aggiunta tua che non c'è nella tesi e NON è richiesta ... pensaci
Cordialmente, Alex
Sì, sì. Ripeto che ciò che dici lo condivido, non l'ho mai messo in discussione... Infatti ribadisco: la dimostrazione è corretta perché hai fatto quello che devi.
Io volevo porre l'attenzione sul perché il risultato è assurdo, non ho mai ritenuto che fosse sbagliato. Non per niente ho insistito nel porre l'attenzione non sul valore di verità del predicato, ma dal come esso è stato "costruito". Dicasi stessa cosa del Paradosso di Tarskii, al quale penso tu ti sia ispirato.
Comunque...
Io volevo porre l'attenzione sul perché il risultato è assurdo, non ho mai ritenuto che fosse sbagliato. Non per niente ho insistito nel porre l'attenzione non sul valore di verità del predicato, ma dal come esso è stato "costruito". Dicasi stessa cosa del Paradosso di Tarskii, al quale penso tu ti sia ispirato.
Comunque...
Mi dai troppa importanza ... non é certo roba mia ...
Il concetto che voglio sottolineare è che non conta l'eventuale assurdità a priori della tesi, non devi farti condizionare da essa, ma devi concentrarti sulla dimostrazione stessa e capire se è valida oppure no ...
Cordialmente, Alex
Il concetto che voglio sottolineare è che non conta l'eventuale assurdità a priori della tesi, non devi farti condizionare da essa, ma devi concentrarti sulla dimostrazione stessa e capire se è valida oppure no ...
Cordialmente, Alex
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