Piccolo quesito

[giuseppe87x]

Dimostrare che per ogni intero positivo $n>=2$ si ha:

$504|n^9-n^3$

Il simbolo $|$ sta per "divide".

[carlo232]

"giuseppe87x":Dimostrare che per ogni intero positivo $n>=2$ si ha:

$504|n^9-n^3$

Il simbolo $|$ sta per "divide".

504=8x7x9

Abbiamo $n^9-n^3=n^3(n-1)(n^2+n+1)(n^3+1)$, lavorando modulo 8,7,9 si vede che almeno un fattore del secondo membro è divisibile rispettivamente o per 8 o per 7 o per 9, da cui la tesi.

[giuseppe87x]

Avevo dimenticato di scrivere: "Vietato a Carlo"

[Aethelmyth]

"giuseppe87x":Avevo dimenticato di scrivere: "Vietato a Carlo"

... Eh no, questi errori non si fanno ....

Cmq non ha spiegato bene come si fa a vedere che almeno un fattore del secondo membro è divisibile per 7 o 8 o 9, o almeno io per capirlo ci metterò un po' previa delucidazione

[laura.todisco]

E cmq andrebbe "dimostrato" che almeno un fattore è divisibile per 7 "e" uno è divisibile per 8 "e" uno è divisibile per 9.
La "o" non ci assicura nulla.

[Bruno13]

La cosa potrebbe essere mostrata anche così
(tenendo conto della riscrittura di Carlo):

n³(n-1)(n+1)[(n+1)²-3n][(n-1)²+3n] = n³[(n²)³-1]

ma mi tocca scrivere (n²)³ perché non ho l'apice '6'...

Partiamo da 8.
Se n è pari, l'espressione è ovviamente un multiplo
di 8.
Se n è dispari, lo diventa (n-1)(n+1), dal momento
che un numero pari non divisibile per 4 è sempre
preceduto e seguito da un multiplo di 4.

Passiamo a 9.
Se n è un multiplo di 3, l'espressione... ci penso un
attimo... certamente è divisibile per 9
Se n è primo con 3, diventa divisibile per 9 il
prodotto (n-1)[(n-1)²+3n] oppure (n+1)[(n+1)²-3n].

Arriviamo a 7.
Se n è divisibile per 7, vabbe'...
Se n è primo con 7, allora è divisibile per 7 il termine
(n²)³-1, grazie a un noto teorema di Fermat.