Pesate

[Xato]

Dodici biglie di uguale dimensione, forma, colore, trattamento superficiale, insomma non distinguibili al tatto o alla vista. Una di esse ha peso impercettibilmente diverso da tutte le altre. La differenza di peso puo' essere percepita solo attraverso l'uso di una bilancia.
Si ha a disposizione una bilancia a due piatti ed un numero massimo di tre pesate. Stabilire quale è la biglia anomala e dire se è più pesante o più leggera.

[cenzo1]

Direi un problema classico..

Prima pesata: 1,2,3,4 su un piatto e 5,6,7,8 sull'altro.
Tre possibili esiti:
a) equilibrio
In tal caso con la seconda pesata metto 9,10 sul primo piatto e 11,1 sul secondo

b) la bilancia pende dalla parte di 1,2,3,4 (in blu nel disegno)

c) la bilancia pende dalla parte di 5,6,7,8 (in blu)

In entrambi i casi b) e c) procedo con la seconda pesata mettendo 1,2,5 sul primo piatto e 3,6,9 sul secondo.

Riporto lo schema complessivo in questa immagine (spero sia comprensibile):

[Xato]

"cenzo":Direi un problema classico..
[spoiler]Prima pesata: 1,2,3,4 su un piatto e 5,6,7,8 sull'altro.
Tre possibili esiti:
a) equilibrio
In tal caso con la seconda pesata metto 9,10 sul primo piatto e 11,1 sul secondo

b) la bilancia pende dalla parte di 1,2,3,4 (in blu nel disegno)

c) la bilancia pende dalla parte di 5,6,7,8 (in blu)

In entrambi i casi b) e c) procedo con la seconda pesata mettendo 1,2,5 sul primo piatto e 3,6,9 sul secondo.

Riporto lo schema complessivo in questa immagine (spero sia comprensibile):

Accipicchia!
Lo schema è spettacolare.

ciao

[cenzo1]

"Xato":Lo schema è spettacolare.
ciao

Grazie!
Mi proposero questo problema un paio d'anni fa: faticai un bel po' per risolverlo e decisi di appuntarmi lo schema..
Ciao

[francesco521]

"cenzo":[quote="Xato"]Lo schema è spettacolare.
ciao

Grazie!
Mi proposero questo problema un paio d'anni fa: faticai un bel po' per risolverlo e decisi di appuntarmi lo schema..
Ciao[/quote]

C'è una strategia a parer mio più semplice anche dal punto di vista mnemonico.
Si parte sempre confrontando due gruppi di 4 palline
Se alla prima pesata c'è uno sbilanciamento è ovvio che la pallina diversa è già sulla bilancia e le ultime 4 sono "buone".
In questo caso:
si prendono 3 palline da uno qualunque dei dei piatti (chiamiamolo A) e si mettono da parte,
si spostano 3 palline dal piatto B nel piatto A (che risulterà ricompletato a 4)
si completa il piatto B con 3 palline prese dalle 4 "buone".
La pesata (che è la seconda) va effetuata dopo aver fatto tutti gli spostamenti.
Questa operazione (altro non è che la rotazione di 3 palline tra piatto A, piatto B e "tavolo")
consente di individuare in quale gruppo si trova la pallina "diversa".
Infatti:
se la bilancia torna in equilibrio la pallina diversa era nel piatto A e adesso e nel gruppo di 3 messe da parte;
se cambia pendenza era nel piatto B e adesso e nel gruppo di 3 passate al piatto A;
se la pendenza non cambia è rimasta sulla bilancia: o è l'unica rimasta su A, o è l'unica rimasta su B.

Si noti che nei primi due casi (pallina diversa in un gruppo di 3) già a seconda pesata abbiamo trovato
se la pallina è più pesante o più leggera: con la terza pesata, confrontandone due qualsiasi,
possiamo isolare la pallina cercata.

Nel terzo caso basterà confrontarne una delle due con una sicuramente "buona".

Stessa filosofia per chiudere il ragionamento nel caso in cui la bilancia resti in equilibrio alla prima pesata.

Ciao!

[cenzo1]

"francesco52":C'è una strategia a parer mio più semplice anche dal punto di vista mnemonico.

Concordo, bella soluzione!
Ciao

[francesco521]

"cenzo":[quote="francesco52"]C'è una strategia a parer mio più semplice anche dal punto di vista mnemonico.

Concordo, bella soluzione!
Ciao[/quote]

Grazie.
Mi sono sempre chiesto: e se si hanno a disposizione 4 pesate, qual è il numero massimo di palline che si possono prendere in considerazione?
A 24 ci si arriva facile. Si può andare oltre? Ci sto ancora pensando.

A presto!

[bucarella]

se sai in anticipo se la pallina anomala pesa in piu o in meno puoi riuscire a trovarla fra $3^n$ dove n sono le pesate

[Xato]

"francesco52":[quote="cenzo"][quote="francesco52"]C'è una strategia a parer mio più semplice anche dal punto di vista mnemonico.

Concordo, bella soluzione!
Ciao[/quote]

Grazie.
Mi sono sempre chiesto: e se si hanno a disposizione 4 pesate, qual è il numero massimo di palline che si possono prendere in considerazione?
A 24 ci si arriva facile. Si può andare oltre? Ci sto ancora pensando.

A presto![/quote]

si.
con quattro pesate puoi individuare una pallina anomala nel peso tra un totale di 39 palline
se le pesate sono cinque allora puoi individuare la pallina anomala tra 120 palline complessive

la formula che lega il numero delle palline al numero delle pesate è:
$n_(p)=3*[n_(p-1)+1]$
con
per $p=1$ è $n_(1)=0$

[kobeilprofeta]

Le palline le chiamiamo 1,2,...,12. Nelle prima pesata metto da un lato 1,2,3 e dall'altro 4,5,6. Nella seconda 7,8,9 e dall'altro 10,11,12. In questo modo distinguo la terzina contenente una pallina diversa e ne peso due di essa. Se saranno uguali, la diversa sarà la terza.

[Xato]

"kobeilprofeta":

Le palline le chiamiamo 1,2,...,12. Nelle prima pesata metto da un lato 1,2,3 e dall'altro 4,5,6. Nella seconda 7,8,9 e dall'altro 10,11,12. In questo modo distinguo la terzina contenente una pallina diversa e ne peso due di essa. Se saranno uguali, la diversa sarà la terza.

Occorre anche capire se è più pesante o più leggera. La soluzione che proponi non lo consente.
Infatti supponiamo che la prima pesata dia l'equlibrio e che la seconda pesata penda dal lato delle palline 10.11.12. A questo punto hai già sprecato due pesate e non sai se la pallina è una tra 7,8, 9 (più leggera) o tra 10,11,12 (più pesante) e con l'ultima pesata non puoi stabilire nulla.

La soluzione del caso delle 12 palline in tre pesate è già stata data con uno schema spettacolare.

[kobeilprofeta]

Hai ragione. Allora:
Peso 1,2,3,4 "contro" 5,6,7,8
Caso a)
 pesano uguale, allora quella diversa è una tra 9,10,11,12.
Peso 1,9 contro 10,11: se pesano uguale, allora è la 12, se pesano diverse (ipotizziamo (1,9)<(10,11)) peso la 10 contro la 11: se pesano uguale, è la 9; se no la più pesante è quella.

Caso b)
(ipotizziamo (1,2,3,4)<(5,6,7,8))
peso 1,2,3 contro 4,5,6: se (1,2,3) pesa di meno peso 1 contro 2 e trovo il risultato.
Se (4,5,6) pesa di meno, allora è la 4.
Se pesano uguale peso 7 contro 8 e la piu pesante è quella.

Nb) ovviamente quando ipotizzo che una delle due sia piu leggera/pesante si potrebbe comodamente prendere il contrario e fare l'esempio inverso: non l'ho fatto per non far diventare troppo lungo.

[Xato]

"kobeilprofeta":

Hai ragione. Allora:
Peso 1,2,3,4 "contro" 5,6,7,8
Caso a)
 pesano uguale, allora quella diversa è una tra 9,10,11,12.
Peso 1,9 contro 10,11: se pesano uguale, allora è la 12, se pesano diverse (ipotizziamo (1,9)<(10,11)) peso la 10 contro la 11: se pesano uguale, è la 9; se no la più pesante è quella.

Caso b)
(ipotizziamo (1,2,3,4)<(5,6,7,8))
peso 1,2,3 contro 4,5,6: se (1,2,3) pesa di meno peso 1 contro 2 e trovo il risultato.
Se (4,5,6) pesa di meno, allora è la 4.
Se pesano uguale peso 7 contro 8 e la piu pesante è quella.

Nb) ovviamente quando ipotizzo che una delle due sia piu leggera/pesante si potrebbe comodamente prendere il contrario e fare l'esempio inverso: non l'ho fatto per non far diventare troppo lungo.

Questa mi sembra corretta.

Vuoi cimentarti con le 39 palline in 4 pesate? o con le 120 palline in 5 pesate?