Permutazioni dei primi $n$ interi

[TomSawyer1]

Sia $n\ge 3$ e $\sigma \in S_n$ una permutazione dei primi $n$ interi positivi. Provare che i numeri $\sigma(1), 2\sigma(2),\ldots,n\sigma(n)$ non possono formare né una progressione aritmetica né una geometrica.

[TomSawyer1]

Certo, $\sigma(i+1)\ne\sigma(i)$, ma non dimostra niente. Quello che dici non è vero perché $i+1$ non è sempre uguale a $i+c$, quindi non ha senso fare quell'affermazione sui denominatori. Vi posto la soluzione per le progressioni aritmetiche.

Suppongo che i numeri possono formare una progressione aritmetica ($a_1,a_2,\ldots,a_n$), e sia $a+kr$, con $r$ la ragione (positiva) e $a$ il numero più piccolo, e $k$ che va da $0$ a $n-1$. Se $r\ge n+1$, allora $n^2\ge a+(n-1)r\ge a+n^2-1$, il che implica $a=1$, $\sigma(1)=a+0*r=1$, $\sigma(n)=n$, $r=n+1$. Ma allora $a_(n-2)=1+(n-2)*r=n^2-n-1>n^2-2n+1\ge k\sigma(k)$, per $2\le k \le n-1$, contraddizione.

Dunque $r\le n$, cioè esiste un intero positivo $p$, $p\le n$, tale che $\sigma(p)=r$, il che significa che qualche $a_i$ è divisibile per $r$, quindi $r|a$. Se $r>2$, allora sia $d=[n/r]$ (la funzione pavimento), e osserviamo i $2d$ numeri $1,r+1,\ldots,(d-1)r+1,r-1,2r-1,\ldots,dr-1$. Tutti questi numeri sono coprìmi con $r$, quindi $r$ deve dividere $\sigma(i)$, per ogni $i$ di quei $2d$ numeri. Ma $\sigma(i)$ non può assumere più di $d$ valori multipli di $r$ (dalla definizione di $d$), quindi una contraddizione.

[Mega-X]

Anzitutto premetto: Perché hai dato la soluzione?

fu^2 ha detto aspetta 24 ore

"TomSawyer":Certo, $\sigma(i+1)\ne\sigma(i)$, ma non dimostra niente. Quello che dici non è vero perché $i+1$ non è sempre uguale a $i+c$, quindi non ha senso fare quell'affermazione sui denominatori. Vi posto la soluzione per le progressioni aritmetiche.

si ma le 2 condizioni che ho ricavato $i+1 = i+c$ e $sigma(i) = sigma(i+1)$ sono in AND, ovvero quando una condizione di quelle è falsa automaticamente tutta la proposizione è falsa, quindi $i+1=i+c$ anche se non è sempre verificata, anzi a maggior ragione quando non è verificata, non importa perché c'è sempre l'uguaglianza (assurda) che dice che $sigma(i+1) = sigma(i)$ che è in AND con l'altra e quindi tutta la proposizione è falsa, così come è falso che si può formare una progressione aritmetica

stessa cosa dicasi per la progressione geometrica

non è che manco qualcosa? fammelo notare perché è la prima volta che faccio pratica con dimostrazioni e anche con la logica (mi riferisco alla materia di piergiorgio oddifreddi non alla materia grigia.. ) e sicuramente se stai ribadendo il tuo punto, significa che c'è una falla nel mio ragionamento..

[fu^2]

"TomSawyer":Se $r\ge n+1$, allora $n^2\ge a+(n-1)r\ge a+n^2-1$,

non capisco questo passaggio.. su che base hai ipotizzato che $r\ge n+1$ e da questo non capire non apprezzo la logica della disequazioni..
potresti spiegarmeli?

[TomSawyer1]

Ho dato la soluzione, perché sinceramente, dai tentativi visti, non mi sembrava foste sulla buona strada. C'è ancora la soluzione per le progreassioni geometriche .

@fu^2
Prima si ipotizza che $r\ge n+1$, si trova una contraddizione. Poi, dovrebbe essere $r

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[fu^2]

"TomSawyer":Ho dato la soluzione, perché sinceramente, dai tentativi visti, non mi sembrava foste sulla buona strada. C'è ancora la soluzione per le progreassioni geometriche .

@fu^2
Prima si ipotizza che $r\ge n+1$, si trova una contraddizione. Poi, dovrebbe essere $r

mmm ok..ma non capisco ancora perchè hai ipotizzato che $r\ge n+1$, cioè l'hai deciso te su che base?... è una cosa che decidi a priori, giusto?...

[TomSawyer1]

Provo a vedere se è possibile ch $r$ sia maggiore di $n$. E arrivo alla conclusione che $a=1$ etc, e da lì arrivo ad una contraddizione, quindi di sicuro non è maggiore di $n$. Semplicemente questo...

[Mega-X]

oerò non riesco a capire dove sta la falla del mio ragionamento, me lo potresti mostrare? ti pregooooooooooo

[TomSawyer1]

Ti ripeto, potresti ragionare in quel modo, solo se dimostrassi che $c$ può essere solo $1$.

Tu stai dicendo che due frazioni $a/b$ e $c/d$ sono diverse perché $b\ne d$. Ma devi dimostrare che $ad\ne bc$.