Partendo da una differenza
Se [tex]\, a^2-b^2\,[/tex] è una generica differenza di due quadrati al tempo stesso
pari oppure dispari, trovare infinite soluzioni intere per l'equazione:
[tex]x^2+y^2+(a^2-b^2)^2=w^2+z^2[/tex] .
pari oppure dispari, trovare infinite soluzioni intere per l'equazione:
[tex]x^2+y^2+(a^2-b^2)^2=w^2+z^2[/tex] .
Risposte
La scrivo come: $(a^2 -b^2)^2 =(w^2 -x^2) + (z^2 -y^2)$
Il primo membro è un numero pari, che è scrivibile in infiniti modi come somma di numeri interi dispari:
$(a^2 -b^2)^2 =(2m+1)+(2n+1)$ , $m$,$n inZZ$
A questo punto basta scegliere:
$w=m+1$
$x=m$
$z=n+1$
$y=n$
Il primo membro è un numero pari, che è scrivibile in infiniti modi come somma di numeri interi dispari:
$(a^2 -b^2)^2 =(2m+1)+(2n+1)$ , $m$,$n inZZ$
A questo punto basta scegliere:
$w=m+1$
$x=m$
$z=n+1$
$y=n$
Ottima idea, robbstark 
Non ho la soluzione, ma non ritengo condivisibile quella di robbstark; ad esempio, per $m=n=1$ si ottiene $(a^2-b^2)^2=6$, non risolubile con numeri interi. Forse il punto di partenza è che il primo membro è divisibile per 16.
Giusto, Giammaria, infatti ho apprezzato l'idea, è chiaro
che [tex]m[/tex] ed [tex]n[/tex] dovranno essere scelti in maniera opportuna,
e non è difficile "battezzarli" partendo dal risultato di
robbstark.
Comunque ci possono essere anche altre idee e soluzioni
(meglio) carine o interessanti
che [tex]m[/tex] ed [tex]n[/tex] dovranno essere scelti in maniera opportuna,
e non è difficile "battezzarli" partendo dal risultato di
robbstark.
Comunque ci possono essere anche altre idee e soluzioni
(meglio) carine o interessanti
@ gianmaria: Giusto quello che hai detto, ma non si devono scegliere $m$ ed $n$ a piacere. Si hanno $a$ e $b$. Noti quelli, è facile scegliere gli opportuni $m$ ed $n$ in quel modo.
Faccio un esempio:
$a=3$, $b=1$, $(a^2 -b^2)^2 = 64$
$64=33+31$ Basta allora scegliere $m=16$ ed $n=15$
$64=35+29$ Basta allora scegliere $m=17$ ed $n=14$
...
$64=65-1$ Basta allora scegliere $m=32$ ed $n=-1$
$64=67-3$ Basta allora scegliere $m=33$ ed $n=-2$
...
Che ci siano altre soluzioni è quasi sicuramente vero.
Faccio un esempio:
$a=3$, $b=1$, $(a^2 -b^2)^2 = 64$
$64=33+31$ Basta allora scegliere $m=16$ ed $n=15$
$64=35+29$ Basta allora scegliere $m=17$ ed $n=14$
...
$64=65-1$ Basta allora scegliere $m=32$ ed $n=-1$
$64=67-3$ Basta allora scegliere $m=33$ ed $n=-2$
...
Che ci siano altre soluzioni è quasi sicuramente vero.
A me questo problema ha fatto venire in mente le terne
pitagoriche. Considerato che quella differenza di quadrati
è un prodotto di due numeri pari, si può anche trovare la
seguente identità:
(2h²-k²-4hk)² + (2h²-k²+4hk)² + (4hk)² = (2h²+k²-4hk)² + (2h²+k²+4hk)²
Allora:
una somma di due quadrati può essere in infiniti casi
uguale a un quadrato (lo sappiamo), in altri casi può
senz'altro essere uguale alla somma di tre quadrati (lo
abbiamo visto qui sopra) e potrebbe essere uguale alla
somma di cinque quadrati... mhm, può esserlo davvero
in infiniti casi?
pitagoriche. Considerato che quella differenza di quadrati
è un prodotto di due numeri pari, si può anche trovare la
seguente identità:
(2h²-k²-4hk)² + (2h²-k²+4hk)² + (4hk)² = (2h²+k²-4hk)² + (2h²+k²+4hk)²
Allora:
una somma di due quadrati può essere in infiniti casi
uguale a un quadrato (lo sappiamo), in altri casi può
senz'altro essere uguale alla somma di tre quadrati (lo
abbiamo visto qui sopra) e potrebbe essere uguale alla
somma di cinque quadrati... mhm, può esserlo davvero
in infiniti casi?
Mi viene in mente una soluzione un po' banale al caso dei 5 quadrati uguali alla somma di 2 quadrati:
$(a^2 +2b^2)^2 +z^2= a^4 +4a^2 b^2 +b^4 +x^2 +y^2 $
Funziona con $a$ e $b$ qualsiasi; $x$, $y$ e $z$ devono invece formare una terna pitagorica.
$(a^2 +2b^2)^2 +z^2= a^4 +4a^2 b^2 +b^4 +x^2 +y^2 $
Funziona con $a$ e $b$ qualsiasi; $x$, $y$ e $z$ devono invece formare una terna pitagorica.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo