Parola d'ordine!
L’infido Duetrecinquesettete, come le altre spie romane di alto livello, ha a disposizione un abaco portatile potentissimo che permette di fare conti difficilissimi in breve tempo. I Romani lo usano per incrementare la sicurezza dei servizi segreti: prima di aprire a qualcuno la sentinella chiede di fare operazioni molto complicate per verificare se ha l’abaco. Abelix ha messo ko Duetrecinquesettete, ma l’abaco si è rotto. Il Gallo sperimenta allora un elisir dell’intelligenza e cerca di intrufolarsi.
“Chi va là!” bisbiglia la sentinella.
“So’ Duetrecinquesettete” risponde Abelix con improbabile accento latino.
“Dimmi allora: se $x$ è l'unica soluzione reale positiva di \(x^2 -29x-10 = 0\), quanto vale \(x^{2011}\)?” domanda la sentinella.
Abelix pronto risponde “È un numero troppo grande per dirlo a voce e nun è nemmeno intero!”.
La sentinella non si fa sorprendere e replica “Allora prendi la parte intera e poi dimmi le ultime due cifre del numero che ottieni. Sarà meglio per te che non ti sbagli!”
Cosa deve rispondere Abelix alla sentinella?
“Chi va là!” bisbiglia la sentinella.
“So’ Duetrecinquesettete” risponde Abelix con improbabile accento latino.
“Dimmi allora: se $x$ è l'unica soluzione reale positiva di \(x^2 -29x-10 = 0\), quanto vale \(x^{2011}\)?” domanda la sentinella.
Abelix pronto risponde “È un numero troppo grande per dirlo a voce e nun è nemmeno intero!”.
La sentinella non si fa sorprendere e replica “Allora prendi la parte intera e poi dimmi le ultime due cifre del numero che ottieni. Sarà meglio per te che non ti sbagli!”
Cosa deve rispondere Abelix alla sentinella?
Risposte
Se intende di prendere la parte intera della soluzione, prima di elevare a potenza, allora questa dovrebbe essere 29.
L'unico modo che mi viene in mente è mettersi a moltiplicare 29 per 29, poi prendere le ultime 2 cifre e moltiplicare per 29 e così via fino a trovare un ciclo.
A me risulta un ciclo di 10 passi, per cui le ultime due cifre sarebbero 29.
L'unico modo che mi viene in mente è mettersi a moltiplicare 29 per 29, poi prendere le ultime 2 cifre e moltiplicare per 29 e così via fino a trovare un ciclo.
A me risulta un ciclo di 10 passi, per cui le ultime due cifre sarebbero 29.
No, credo si intenda "prendere la parte intera di $x^2011$, e considerarne le ultime due cifre".
Allora, le soluzioni dell'equazione sono: \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{29 \pm \sqrt{881}}{2} \), ma dal momento che \(\displaystyle 29^2<881<30^2 \) si ha che l'unica soluzione positiva è \(\displaystyle x_1= \frac{29 + \sqrt{881}}{2}\), tuttavia il risultato sarà irrazionale e quindi \(\displaystyle \left\lfloor \frac{29 + \sqrt{881}}{2} \right\rfloor=29 \). Adesso bisogna risolvere la congruenza \(\displaystyle 29^{2011}\equiv x \pmod{100} \). Semplifichiamo come:
\(\displaystyle (29 \pmod{100})^{2011 \pmod{ord(100)}} \pmod{100}\) da cui \(\displaystyle 29^{11}\equiv x \pmod{100} \).
Ed adesso: \(\displaystyle 29^{11}=(20+9)^{11} \Rightarrow \sum_{i=0}^{11} \binom{11}{i}20^i\cdot 9^{11-i}\equiv 9^{11}+9^{10} \cdot 20 \equiv 9+20 \equiv 29 \pmod{100} \).
\(\displaystyle (29 \pmod{100})^{2011 \pmod{ord(100)}} \pmod{100}\) da cui \(\displaystyle 29^{11}\equiv x \pmod{100} \).
Ed adesso: \(\displaystyle 29^{11}=(20+9)^{11} \Rightarrow \sum_{i=0}^{11} \binom{11}{i}20^i\cdot 9^{11-i}\equiv 9^{11}+9^{10} \cdot 20 \equiv 9+20 \equiv 29 \pmod{100} \).
Non è questo il risultato Gianni, sarebbe troppo facile. In realtà bisogna calcolare $x^2011$, poi troncare il risultato e infine trovarne il resto modulo 100. Ci ho pensato, ma non è così facile da risolvere...
Come al solito avevo frainteso il testo! Grazie del chiarimento, mi rimetto all'opera!
Per questo qualcuno ha qualche idea?
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