Paradosso
l'ho postato nella sezione di giochi...,ma forse mi rendo conto che avrei fatto meglio a postarlo in questa sezione... 
si dispone di un'urna inizialmente vuota e di un'infinità numerabile di gettoni, 0,1,2,3,.... eccetera.
il primo giorno si inseriscono tutti gettoni con i numeri da 0 a 9 e si toglie nello stesso giorno il gettone 0;
il secondo giorno si inseriscono i gettoni corrispondenti da 10 a 19 e si toglie il gettone 1.
si procede così aggiungendo 10 gettoni nuovi e togliendo quello contrassegnato con il minimo.
si vede che al giorno n sono rimasti 9n gettoni.
quanti gettoni rimarranno nell'urna dopo un'infinità numerable di giorni???? e perchè???
carino davvero questo semplice quesito
si dispone di un'urna inizialmente vuota e di un'infinità numerabile di gettoni, 0,1,2,3,.... eccetera.
il primo giorno si inseriscono tutti gettoni con i numeri da 0 a 9 e si toglie nello stesso giorno il gettone 0;
il secondo giorno si inseriscono i gettoni corrispondenti da 10 a 19 e si toglie il gettone 1.
si procede così aggiungendo 10 gettoni nuovi e togliendo quello contrassegnato con il minimo.
si vede che al giorno n sono rimasti 9n gettoni.
quanti gettoni rimarranno nell'urna dopo un'infinità numerable di giorni???? e perchè???
carino davvero questo semplice quesito
Risposte
senza fare calcoli a sensazione dico 8
$8$ gettoni???????? 
hai letto bene la traccia???
no cmq no non è la risp corretta
hai letto bene la traccia???
no cmq no non è la risp corretta
"miuemia":
l'ho postato nella sezione di giochi...,ma forse mi rendo conto che avrei fatto meglio a postarlo in questa sezione...
si dispone di un'urna inizialmente vuota e di un'infinità numerabile di gettoni, 0,1,2,3,.... eccetera.
il primo giorno si inseriscono tutti gettoni con i numeri da 0 a 9 e si toglie nello stesso giorno il gettone 0;
il secondo giorno si inseriscono i gettoni corrispondenti da 10 a 19 e si toglie il gettone 1.
si procede così aggiungendo 10 gettoni nuovi e togliendo quello contrassegnato con il minimo.
si vede che al giorno n sono rimasti 9n gettoni.
quanti gettoni rimarranno nell'urna dopo un'infinità numerable di giorni???? e perchè???
carino davvero questo semplice quesito
vuoi che ti rispondiamo $0$
ma io ho dei dubbi sul senso della affermazione "dopo un'infinità numerabile di giorni"
sono tentato di citare Keynes...
si d'accordo ma in questi esercizi si pensa di vivere abbastanza da fare ciò che si chiede... e come mai $0$???
non è il fatto di vivere abbastanza, è che per la def di infinito nn può esistere un "dopo"...
si si d'accordo...
ma come mai rimangono zero gettoni nell'urna???
ma come mai rimangono zero gettoni nell'urna???
allora nessun suggerimento del perchè l'urna alla fine sia vuota?????...
"miuemia":
allora nessun suggerimento del perchè l'urna alla fine sia vuota?????...
Io però non sono d'accordo. Se dopo $n$ giorni rimangono $9n$ gettoni, allora basta passare al limite su $n$.
$lim_(nto+oo) 9n = +oo$
Quindi dopo un'infinità numerabile di giorni, nell'urna c'è un'infinità numerabile di gettoni.
e no no...fai attenzione kroldar.... anche se ne hai $9n$ però tu fai questa operazione di togliere sempre $1$ gettone un'infinità di volte...
Non è sufficiente osservare che aggiungi un'infinità numerabile di gettoni, dopo un'infinità numerabile di giorni, ma, anche togliendo un'infinità numerabile di gettoni ed essendo queste due infinità in corrispondenza biunivoca, sei a zero gettoni?
esatto proprio per questo...
"miuemia":
esatto proprio per questo...
Scusami, ma sinceramente continuo ad essere scettico. Se ad ogni passo aggiungi $10$ gettoni e ne togli $1$, dopo $n$ passi hai $10n-n$ gettoni. Passando al limite ottieni $oo - oo$, che è una forma indeterminata e va trattata ad hoc! Quando devi calcolare un limite e ti imbatti nella forma indeterminata $oo - oo$ non puoi certo scrivere che il limite fa $0$
ti faccio un'altra domanda... l'insieme fatto così ${3n | n\in NN}$ è in corrispondenza biunivoca con $NN$???....
spero di essere stato più chiaro...
spero di essere stato più chiaro...
"TomSawyer":
Non è sufficiente osservare che aggiungi un'infinità numerabile di gettoni, dopo un'infinità numerabile di giorni, ma, anche togliendo un'infinità numerabile di gettoni ed essendo queste due infinità in corrispondenza biunivoca, sei a zero gettoni?
e perché non 77?
sembra che manchi qualche dettaglio
Io di 'sta roba non ci capisco nulla, ma mi è venuta in mente una cosa... Gli insiemi $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ hanno la stessa cardinalità (visto che è possibile mettere i rispettivi elementi in corrispondenza biunivoca), tuttavia se da $\mathbb{Z}$ tolgo tutti gli elementi di $\mathbb{N}$ non ottengo l'insieme vuoto... può entrarci qualcosa questa mia farneticazione?
"Fioravante Patrone":
ma io ho dei dubbi sul senso della affermazione "dopo un'infinità numerabile di giorni"
sono tentato di citare Keynes...
forse il riferimento a Keynes era fuorviante
io ho dubbi sul significato matematico dell'affermazione citata
Concordo con Fioravante, il problema cosi' esposto non ha senso matematico. Comunque la cosa interessante e' che si dovrebbe considerare l'urna "finale" come il risultato di una serie infinita di operazioni. Qualche buon'anima ha definito le Macchine di Turing a tempo infinito, per modellare il risultato di infinite operazioni.
Nel nostro caso, cosa possiamo dire con sicurezza? Sia $A_i$ l'insieme dei gettoni nell'urna nel giorno $i$ e sia $b$ un gettone. Allora $b$ appartiene all'urna "finale" se esiste $k\in NN$ tale che per ogni $h>=k$, $b\in A_k$. Similmente possiamo dire con certezza che $b$ non appartiene all'urna "finale" se esiste $k\in NN$ tale che per ogni $h>=k$, $b\notin A_k$.
Con queste considerazioni il problema diventa sensato.
PS: Il problema comunque non e' altro che una variante di un noto problema esposto da Russell... Riguardava Tristam Shandy, uno scrittore che stava scrivendo la sua autobiografia, e che ci metteva un anno per scrivere gli avvenimenti di un suo giorno di vita e che con un tempo infinito finira' la sua autobiografia...
Nel nostro caso, cosa possiamo dire con sicurezza? Sia $A_i$ l'insieme dei gettoni nell'urna nel giorno $i$ e sia $b$ un gettone. Allora $b$ appartiene all'urna "finale" se esiste $k\in NN$ tale che per ogni $h>=k$, $b\in A_k$. Similmente possiamo dire con certezza che $b$ non appartiene all'urna "finale" se esiste $k\in NN$ tale che per ogni $h>=k$, $b\notin A_k$.
Con queste considerazioni il problema diventa sensato.
PS: Il problema comunque non e' altro che una variante di un noto problema esposto da Russell... Riguardava Tristam Shandy, uno scrittore che stava scrivendo la sua autobiografia, e che ci metteva un anno per scrivere gli avvenimenti di un suo giorno di vita e che con un tempo infinito finira' la sua autobiografia...
so che formalmente non è molto corretto ma non si potrebbe dire che l'operazione di aggiungere $10n-n$ gettoni all'infinito è di ordine superiore rispetto a togliere $1$ gettone sempre all'infinito??
"f.bisecco":
so che formalmente non è molto corretto ma non si potrebbe dire che l'operazione di aggiungere $10n-n$ gettoni all'infinito è di ordine superiore rispetto a togliere $1$ gettone sempre all'infinito??
avevo anch'io un'idea simile, ma avevo paura a dirla perchè mi ero accorto che , rigorosamente parlando, l'operazione di aggiungere $10n-n$ gettoni (all'infinito) non è di "ordine" superiore rispetto al togliere $1$ gettone all'inifinito, poichè si parla di addizione e sottrazione..però a senso mi viene da dire che non ne restano $0$, per all'incirca questo motivo, anche se non conosco la terminologia per dirlo...se è giusto e se qualcuno conosce questa terminologia e spiega il problema definitivamente ,mi fa un piacere...magari anche ribadendo una volta per tutte che non ha senso matematico e che quindi è inutile che ci arrovelliamo per niente...grazie a tutti
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