Online World Math Contest - quesito 17
Ciao a tutti, qualcuno ha partecipato all' Online World Math Contest organizzato dalla federazione svizzera?
Sto cercando di risolvere tutti gli esercizi con calma piano piano ma mi manca il 17.
Qualcuno può aiutarmi?
17. BALBETTII (coefficiente 17)
Fibo gioca con una serie di cui il primo
termine è 1, il secondo termine è 1 e
successivamente ciascun termine è la
somma dei due precedenti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Inizia dal primo termine, lo moltiplica per
10 e gli aggiunge il secondo, moltiplica il
risultato per 10 e aggiunge il terzo, e così
via. Fibo ottiene così 1, 11, 112, 1123, 11235, 112358,
1123593 (= 112358 x 10 + 13), ...
Dopo un po’, ottiene dei blocchi di numeri
che si ripetono uno dopo l’altro
all’infinito.
Quante cifre contengono questi
blocchi, come minimo?
Ho scritto un programma in c++ che calcola la serie di fibonacci e quella di Fibo per vedere cosa succere:
Per ora non ho idea di come risolverlo.
Ciao
Ronny
Sto cercando di risolvere tutti gli esercizi con calma piano piano ma mi manca il 17.
Qualcuno può aiutarmi?
17. BALBETTII (coefficiente 17)
Fibo gioca con una serie di cui il primo
termine è 1, il secondo termine è 1 e
successivamente ciascun termine è la
somma dei due precedenti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Inizia dal primo termine, lo moltiplica per
10 e gli aggiunge il secondo, moltiplica il
risultato per 10 e aggiunge il terzo, e così
via. Fibo ottiene così 1, 11, 112, 1123, 11235, 112358,
1123593 (= 112358 x 10 + 13), ...
Dopo un po’, ottiene dei blocchi di numeri
che si ripetono uno dopo l’altro
all’infinito.
Quante cifre contengono questi
blocchi, come minimo?
Ho scritto un programma in c++ che calcola la serie di fibonacci e quella di Fibo per vedere cosa succere:
Per ora non ho idea di come risolverlo.
Ciao
Ronny
Risposte
Ma questo problema quando è stato inserito sul Forum? Dopo una settimana?
Chissà dov'è l'OP ...
"Questo sistema non funziona!" l'ho già detto?
@ronny
È il testo esatto, parola per parola?
Cordialmente, Alex
Chissà dov'è l'OP ...
"Questo sistema non funziona!" l'ho già detto?
@ronny
È il testo esatto, parola per parola?
Cordialmente, Alex
Dai tuoi conti sembrerebbe $79$
Io un'idea ce l'avrei per risolvere il problema e la mia risposta sarebbe stata 61 cifre....ma l'OP è sparito
P.S. Effettivamente non ha visto il suo post pubblicato per una settimana e si è giustamente stufato
P.S. Effettivamente non ha visto il suo post pubblicato per una settimana e si è giustamente stufato
"Bokonon":
P.S. Effettivamente non ha visto il suo post pubblicato per una settimana e si è giustamente stufato
Eh!
$61$ mi pare improbabile, io non ho fatto conti, mi sono limitato a guardare quelli dell'OP e si vede chiaramente che ad un certo punto (il $54$ come dice l'OP), la sequenza iniziale inizia a ripetersi e questa sequenza iniziale è lunga $44$ cifre .
È $44$
E' un contest online, quindi l'organizzazione deve permettere l'utilizzo del web ed eventuali programmi di matematica...perchè non può controllare tutti. Ergo hanno pensato a problemi che possono essere risolti in modo semplice usando dette risorse ma con astuzia...oppure facendo una marea di calcoli: insomma potevano inserire problemi che fossero praticamente impossibili da risolvere se il contest fosse stato svolto in un'aula.
Io ho ragionato così:
a ) la nuova successione ha sempre un numero proporzionale a $10^1$=2 cifre, $10^2$=3 cifre e così via. Questo perchè i numeri di fibonacci che poi vengono sommati sono più piccoli e non alterano il numero di cifre.
b ) tutti i numeri della nuova successione inizieranno sempre per 11
c ) mi viene detto dal problema che ad un certo punto i blocchi di cifre si ripetono all'infinito
Dalla b ) e la c ) deduco che il nuovo blocco inizierà per 11.
Quindi ad un certo punto accadrà che avrò un numeroX10 + un numero di Fibonacci che finisce per 1.
E questo deve accadere anche al passo successivo.
Allora ho aperto la sequenza di Fibonacci https://storiografia.me/2013/11/07/i-pr ... fibonacci/ ed ho cercato una sequenza di due numeri di Fibonacci che finiscono per 1.
Metto in evidenza la sequenza 61,62
Se è vero esistono blocchi di cifre che si ripetono, allora dovrò trovare una sequenza del genere anche al 121,122 e 181,182 e 241,242 e 301,302 e così via. E in effetti accade.
Quindi deduco che il primo blocco non ripetuto avverrà al sessantesimo numero di Fibonacci.
La nuova successione invece parte dal secondo numero quindi quando sommo il sessantesimo avrò un numero che finisce per 0 (questo perchè noto che il numero di Fibonacci precedente alle sequenze 11 finisce sempre per zero) e il numero complessivo avrà $10^59$ cifre, ovvero 60 cifre (e non come ho scritto erroneamente 61).
Cosa ne dici?
Io ho ragionato così:
a ) la nuova successione ha sempre un numero proporzionale a $10^1$=2 cifre, $10^2$=3 cifre e così via. Questo perchè i numeri di fibonacci che poi vengono sommati sono più piccoli e non alterano il numero di cifre.
b ) tutti i numeri della nuova successione inizieranno sempre per 11
c ) mi viene detto dal problema che ad un certo punto i blocchi di cifre si ripetono all'infinito
Dalla b ) e la c ) deduco che il nuovo blocco inizierà per 11.
Quindi ad un certo punto accadrà che avrò un numeroX10 + un numero di Fibonacci che finisce per 1.
E questo deve accadere anche al passo successivo.
Allora ho aperto la sequenza di Fibonacci https://storiografia.me/2013/11/07/i-pr ... fibonacci/ ed ho cercato una sequenza di due numeri di Fibonacci che finiscono per 1.
Metto in evidenza la sequenza 61,62
Se è vero esistono blocchi di cifre che si ripetono, allora dovrò trovare una sequenza del genere anche al 121,122 e 181,182 e 241,242 e 301,302 e così via. E in effetti accade.
Quindi deduco che il primo blocco non ripetuto avverrà al sessantesimo numero di Fibonacci.
La nuova successione invece parte dal secondo numero quindi quando sommo il sessantesimo avrò un numero che finisce per 0 (questo perchè noto che il numero di Fibonacci precedente alle sequenze 11 finisce sempre per zero) e il numero complessivo avrà $10^59$ cifre, ovvero 60 cifre (e non come ho scritto erroneamente 61).
Cosa ne dici?
Nah, ho guardato la sequenza del OP e il ragionamento funzionerebbe solo se il 62-esimo numero di Fibonacci della lista del sito finisse per 01.
Quindi l'unico metodo di soluzione era davvero usare un programma di matematica (oppure esiste una speciale proprietà dei numeri di Fibonacci che potrebbe aiutare...non lo so)
Quindi l'unico metodo di soluzione era davvero usare un programma di matematica (oppure esiste una speciale proprietà dei numeri di Fibonacci che potrebbe aiutare...non lo so)
Se fosse veramente possibile usare strumenti elettronici allora bastano pochi minuti per trovare la soluzione (per dire, pure io ci ho messo meno di cinque minuti per scrivere quattro righe in justbasic e trovare il blocco ripetitivo di $44$ cifre).
Ci sono due note proprietà dei numeri di Fibonacci che potrebbero entrare in gioco (con "note" intendo note agli addetti ai lavori
); una è che l'ultima cifra di un numero di Fibonacci si ripete dopo $60$ numeri (e sono periodiche pure le ultime due, le ultime tre, le ultime quattro e le ultime cinque 
- con periodi diversi, di più non so ); l'altra ... me la sono dimenticata mentre scrivevo 
Cordialmente, Alex
Ci sono due note proprietà dei numeri di Fibonacci che potrebbero entrare in gioco (con "note" intendo note agli addetti ai lavori
); una è che l'ultima cifra di un numero di Fibonacci si ripete dopo $60$ numeri (e sono periodiche pure le ultime due, le ultime tre, le ultime quattro e le ultime cinque - con periodi diversi, di più non so ); l'altra ... me la sono dimenticata mentre scrivevo Cordialmente, Alex
Ah, l'altra è che non esistono meno di quattro numeri di Fibonacci con lo stesso numero di cifre e non esistono più di cinque numeri di Fibonacci con lo stesso numero di cifre cioè, tanto per fare un esempio esistono certamente solo quatto o cinque numeri di Fibonacci con $71$ cifre, né più né meno.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
@Bokonon
Ho letto il regolamento e vieta qualsiasi aiuto esterno.
Peraltro, volendo, si può fare a mano
Non ridete ma non ci vuole moltissimo tempo, in un paio di minuti ho calcolato i primi venti
Per riuscire a "vedere" il blocco di $44$ se ne devono calcolare almeno $54$ (perché ogni 4/5 step si aggiunge una cifra) ma è più probabile una sessantina e penso si possa fare in non più di mezz'ora (il vincitore è l'unico che ha risposto correttamente a tutte le domande ma ha utilizzato tutte e tre le ore a disposizione)
Cordialmente, Alex
Ho letto il regolamento e vieta qualsiasi aiuto esterno.
Peraltro, volendo, si può fare a mano
Non ridete ma non ci vuole moltissimo tempo, in un paio di minuti ho calcolato i primi venti
Per riuscire a "vedere" il blocco di $44$ se ne devono calcolare almeno $54$ (perché ogni 4/5 step si aggiunge una cifra) ma è più probabile una sessantina e penso si possa fare in non più di mezz'ora
(il vincitore è l'unico che ha risposto correttamente a tutte le domande ma ha utilizzato tutte e tre le ore a disposizione) Cordialmente, Alex
"axpgn":
@Bokonon
Ho letto il regolamento e vieta qualsiasi aiuto esterno.
Ma suvvia.
Ci vogliono almeno 2 camere per togliere gli angoli bui + persone dedicate ad osservare il tutto + proibire il bagno per la durata della prova.
Siamo seri.
Non dirlo a me, il regolamento dice quello poi come facciano (o come si è svolto effettivamente) non lo so
Guarda che gli svizzeri sono seri
Guarda che gli svizzeri sono seri
"axpgn":
Guarda che gli svizzeri sono seri
Gli svizzeri sono cioccolatai
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