Olimpiadi Matematica Genova 2005
Vi propongo il quesito n.22 della gara di Genova del 2005
"Il grande capo ha stabilito che il budget a disposizione dell'Ente sarà un numero di euro pari a $34!$, cioè il prodotto di tutti gli interi tra 1 e 34.
Un socio esegue il calcolo con l'aiuto di un computer ed ottiene il seguente stampato
34!= 295232799**96041408476186096435**000000
Purtroppo, come si può vedere, la stampante ha sostituito 4 delle cifre con degli asterischi.
Determinare le cifre mancanti
[Nella risposta scrivere le 4 cifre nello stesso ordine in cui dovrebbero comparire nello stampato] "
ovviamente, non si può usare alcun tipo di calcolatrice, nè cercare la risposta su internet.
Oltre alla risposta, potete dirmi come ci si arriva?
"Il grande capo ha stabilito che il budget a disposizione dell'Ente sarà un numero di euro pari a $34!$, cioè il prodotto di tutti gli interi tra 1 e 34.
Un socio esegue il calcolo con l'aiuto di un computer ed ottiene il seguente stampato
34!= 295232799**96041408476186096435**000000
Purtroppo, come si può vedere, la stampante ha sostituito 4 delle cifre con degli asterischi.
Determinare le cifre mancanti
[Nella risposta scrivere le 4 cifre nello stesso ordine in cui dovrebbero comparire nello stampato] "
ovviamente, non si può usare alcun tipo di calcolatrice, nè cercare la risposta su internet.
Oltre alla risposta, potete dirmi come ci si arriva?
Risposte
Per cominciare vedo ci sono un bel po' di zeri alla fine, con i fattori 10, 20, 30 e anche per esempio 25x4=100 ... io ho trovato almeno 8 zeri.
no gli $0$ sono sette. infatti per saperlo ti basta contare quanti 5 ci sono, poi i due saranno sicuramente a sufficienza, e ottieni i 10 che dividono il nostro numero. e i 5 sono proprio sette (uno per ogni multiplo di 5, in più si considera che in 25 ce ne sono due).
quindi l'ultimo asterisco è $0$, il penultimo no, gli altri forse.
poi si possono considerare due cose: $34!$ è di sicuro divisibile per 9 e 11, e i criteri di divisibilità per questi due numeri dipendono solo dalla somma delle cifre.
chiamiamo i tre numeri che non conosciamo a,b,c in ordine.
la somma delle cifre di $34!$ risulta essere $4+a+b+c$ $mod9$
quindi dovremo avere che $a+b+c=5$ $mod9$.
la somma delle cifre di posto pari è $P=59+a+c$, di quelle di posto dispari è $D=80+b$
la differenza $P-D$ deve essere uguale a $0$ modulo 11.
quindi $21+b-a-c=b-a-c-1=0$ $mod11$
si trovano così forti limitazioni sui valori di $a,b,c$ ma non ancora una soluzione, mi pare, ci vuole un'altra osservazione.
quindi l'ultimo asterisco è $0$, il penultimo no, gli altri forse.
poi si possono considerare due cose: $34!$ è di sicuro divisibile per 9 e 11, e i criteri di divisibilità per questi due numeri dipendono solo dalla somma delle cifre.
chiamiamo i tre numeri che non conosciamo a,b,c in ordine.
la somma delle cifre di $34!$ risulta essere $4+a+b+c$ $mod9$
quindi dovremo avere che $a+b+c=5$ $mod9$.
la somma delle cifre di posto pari è $P=59+a+c$, di quelle di posto dispari è $D=80+b$
la differenza $P-D$ deve essere uguale a $0$ modulo 11.
quindi $21+b-a-c=b-a-c-1=0$ $mod11$
si trovano così forti limitazioni sui valori di $a,b,c$ ma non ancora una soluzione, mi pare, ci vuole un'altra osservazione.
Bravo blackbishop13... ottime osservazioni... Alcune le avevo fatte anch'io...
In più c'è da dire un'altra cosa:
tolti i sette $0$ iniziali il numero è 295232799**96041408476186096435*
questo numero deve essere divisibile per $8$, e per esserlo le ultime 3 cifre devono essere un divisore di 8
quindi l'ultimo asterisco è un $2$ , in quanto 352 è multiplo di 8
restano dunque gli altri 2 asterischi...
In più c'è da dire un'altra cosa:
tolti i sette $0$ iniziali il numero è 295232799**96041408476186096435*
questo numero deve essere divisibile per $8$, e per esserlo le ultime 3 cifre devono essere un divisore di 8
quindi l'ultimo asterisco è un $2$ , in quanto 352 è multiplo di 8
restano dunque gli altri 2 asterischi...
ok allora è fatta.
riprendendo il mio primo post, abbiamo allora $c=2$ e le altre condizioni saranno
$a+b=3 mod9$ e $b-a=3 mod11$
ma siccome $a,b$ sono interi compresi fra $0$ e $9$, gli unici risultati possibili sono, per la prima condizione:
$a+b=3$ e $a+b=12$.
per la seconda $b-a=-8$ e $b-a=3$.
se $b-a=8$ allora $b=8+a$ da cui le possibilità sono $a=0,b=8$ o $a=1,b=9$ e nessuna delle due soddisfa la prima condizione.
perciò sarà $b-a=3$, $b=a+3$.
ma allora è impossibile trovare $a,b$ tali che $a+b=12$ perchè sostituendo $b$ si trova $2a+3=12$, $a=9/2$ impossibile.
quindi si ha $b-a=3$ e $b+a=3$. da cui $a=0$ e $b=3$.
la soluzione finale è allora $0,3,2,0$.
riprendendo il mio primo post, abbiamo allora $c=2$ e le altre condizioni saranno
$a+b=3 mod9$ e $b-a=3 mod11$
ma siccome $a,b$ sono interi compresi fra $0$ e $9$, gli unici risultati possibili sono, per la prima condizione:
$a+b=3$ e $a+b=12$.
per la seconda $b-a=-8$ e $b-a=3$.
se $b-a=8$ allora $b=8+a$ da cui le possibilità sono $a=0,b=8$ o $a=1,b=9$ e nessuna delle due soddisfa la prima condizione.
perciò sarà $b-a=3$, $b=a+3$.
ma allora è impossibile trovare $a,b$ tali che $a+b=12$ perchè sostituendo $b$ si trova $2a+3=12$, $a=9/2$ impossibile.
quindi si ha $b-a=3$ e $b+a=3$. da cui $a=0$ e $b=3$.
la soluzione finale è allora $0,3,2,0$.
Perfetto... complimenti 
grazie, e complimenti anche a te, la cosa più difficile da vedere era la divisiblità per 8 dopo aver diviso per $10^7$.
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