[olimpiadi della matematica] problema
Salve in un forum hanno proposto questo gioco:
"partite dal numero 1, aggiungete 70 e otterrete un risultato
invertite le cifre del risultato, aggiungete 70 ed otterrete un altro risultato
invertite le cifre di quest'altro risulato, aggiungete 70, ....
senza eseguire i calcoli, in quanti passi si raggiunge il numero 2011?"
Ora facendo i calcoli si ottiene:
1 + 70 = 71
17 + 70 = 87
78 + 70 = 148
841 + 70 = 911
119 + 70 = 189
981 + 70 = 1051
1501 + 70 = 1571
1751 + 70 = 1821
1281 + 70 = 1351
1531 + 70 = 1601
1061 + 70 = 1131
1311 + 70 = 1381
1831 + 70 = 1901
1091 + 70 = 1161
1611 + 70 = 1681
1861 + 70 = 1931
1391 + 70 = 1461
1641 + 70 = 1711
1171 + 70 = 1241
1421 + 70 = 1491
1941 + 70 = 2011
Allora ho scritto
A1+70=B1
A2+70=B2
...
...
...
An+70=Bn
Da cui ho dedotto la seguente successione
A1=1
B1 = 71
Bn = Bn-1 + (An - An-1)
Ma a questo punto, partendo dalla successione trovata, come si va a determinare in valore di n tale che sia Bn=2011?[/tex]
"partite dal numero 1, aggiungete 70 e otterrete un risultato
invertite le cifre del risultato, aggiungete 70 ed otterrete un altro risultato
invertite le cifre di quest'altro risulato, aggiungete 70, ....
senza eseguire i calcoli, in quanti passi si raggiunge il numero 2011?"
Ora facendo i calcoli si ottiene:
1 + 70 = 71
17 + 70 = 87
78 + 70 = 148
841 + 70 = 911
119 + 70 = 189
981 + 70 = 1051
1501 + 70 = 1571
1751 + 70 = 1821
1281 + 70 = 1351
1531 + 70 = 1601
1061 + 70 = 1131
1311 + 70 = 1381
1831 + 70 = 1901
1091 + 70 = 1161
1611 + 70 = 1681
1861 + 70 = 1931
1391 + 70 = 1461
1641 + 70 = 1711
1171 + 70 = 1241
1421 + 70 = 1491
1941 + 70 = 2011
Allora ho scritto
A1+70=B1
A2+70=B2
...
...
...
An+70=Bn
Da cui ho dedotto la seguente successione
A1=1
B1 = 71
Bn = Bn-1 + (An - An-1)
Ma a questo punto, partendo dalla successione trovata, come si va a determinare in valore di n tale che sia Bn=2011?[/tex]
Risposte
nessuno riesce a far nulla? 
Non so quanto ti possa interessare.
Un numero di 4 cifre in decimale si esprime nella forma:
$1000a + 100b + 10c + d$ (con a,b,c,d compresi tra 0 e 9).
Per invertire le cifre lo devi scrivere:
$1000d + 100c + 10b + a$
Risultato: seguendo questa strada non si arriva da nessuna parta.. l'ho scritta solo perchè sentivo (su altri siti) che alcuni chiedevano come invertire le cifre di un numero.
Un numero di 4 cifre in decimale si esprime nella forma:
$1000a + 100b + 10c + d$ (con a,b,c,d compresi tra 0 e 9).
Per invertire le cifre lo devi scrivere:
$1000d + 100c + 10b + a$
Risultato: seguendo questa strada non si arriva da nessuna parta.. l'ho scritta solo perchè sentivo (su altri siti) che alcuni chiedevano come invertire le cifre di un numero.
Ho notato una cosa interessante (che vale finché sia la prima che l'ultima cifra del risultato sono uguali a 1) che permette di compiere due passi in uno facilitando molto le cose.
Partiamo da un certo Bn. A questo punto ci sono due possibilità:
- $B_n < 1231$, allora $B_(n+2) = B_n + 770$
- $B_n > 1221$, allora $B_(n+2) = B_n - 220$
E' chiaro che, se in un "passaggio doppio" faccio Bn +770, nei tre "passaggi doppi" che seguiranno dovrò fare Bn-220.
Inoltre ho dedotto che, ottenendo un certo $Bm$ eseguendo un numero pari di passi partendo da 1051, $Bm - 1051$ sarà necessariamente divisibile per 110.
Partendo da 2011, ho eseguito l'algoritmo al contrario in modo da ottenere un numero con cifre "estreme" uguali a 1.
Con un solo passaggio "inverso" si ottiene 1491.
A questo punto ho provato a fare $1491-1051=440$. Siccome è divisibile per 110, tra 1051 e 1491 ci sarà un numero pari di passi.
Si nota che 440 = 770 - 220 - 220 - 220 + 770 - 220 - 220. (Si parte da 770 perché 1051<1231)
Quindi tra 1051 e 1491 ci saranno esattamente 7 "passaggi doppi", cioé 14 passaggi "normali".
Dato che avevamo eseguito un "passaggio inverso" per ottenere 1491, tra 1051 e 2011 ci saranno 15 passaggi.
Aggiungendo poi i 6 passi necessari per arrivare a 1051, otteniamo in totale 21 passaggi necessari per raggiungere il 2011.
Partiamo da un certo Bn. A questo punto ci sono due possibilità:
- $B_n < 1231$, allora $B_(n+2) = B_n + 770$
- $B_n > 1221$, allora $B_(n+2) = B_n - 220$
E' chiaro che, se in un "passaggio doppio" faccio Bn +770, nei tre "passaggi doppi" che seguiranno dovrò fare Bn-220.
Inoltre ho dedotto che, ottenendo un certo $Bm$ eseguendo un numero pari di passi partendo da 1051, $Bm - 1051$ sarà necessariamente divisibile per 110.
Partendo da 2011, ho eseguito l'algoritmo al contrario in modo da ottenere un numero con cifre "estreme" uguali a 1.
Con un solo passaggio "inverso" si ottiene 1491.
A questo punto ho provato a fare $1491-1051=440$. Siccome è divisibile per 110, tra 1051 e 1491 ci sarà un numero pari di passi.
Si nota che 440 = 770 - 220 - 220 - 220 + 770 - 220 - 220. (Si parte da 770 perché 1051<1231)
Quindi tra 1051 e 1491 ci saranno esattamente 7 "passaggi doppi", cioé 14 passaggi "normali".
Dato che avevamo eseguito un "passaggio inverso" per ottenere 1491, tra 1051 e 2011 ci saranno 15 passaggi.
Aggiungendo poi i 6 passi necessari per arrivare a 1051, otteniamo in totale 21 passaggi necessari per raggiungere il 2011.
Ottima induzione. Il problema è che durante una prova sarebbe difficile arrivare a queste conclusioni prima di avere la scala parziale dei passaggi.
"xXStephXx":
Ottima induzione. Il problema è che durante una prova sarebbe difficile arrivare a queste conclusioni prima di avere la scala parziale dei passaggi.
E' vero, farsi una scaletta con i calcoli è indispensabile per notare certe regolarità nella successione.
A proposito, qualcuno sa dirmi da che gara è stato tratto questo quesito?
Con le olimpiadi di matematica non c'entra niente. Questo quesito viene dai giochi della Bocconi (semifinali).
Ecco il link, se te li vuoi fare.
Come livello è superiore sia a kangourou (marzo) che ad Archimede, ma inferiore alla prova di Febbraio.
Ecco il link, se te li vuoi fare.
Come livello è superiore sia a kangourou (marzo) che ad Archimede, ma inferiore alla prova di Febbraio.
"xXStephXx":
Non so quanto ti possa interessare.
Un numero di 4 cifre in decimale si esprime nella forma:
$1000a + 100b + 10c + d$ (con a,b,c,d compresi tra 0 e 9).
Per invertire le cifre lo devi scrivere:
$1000d + 100c + 10b + a$
Risultato: seguendo questa strada non si arriva da nessuna parta.. l'ho scritta solo perchè sentivo (su altri siti) che alcuni chiedevano come invertire le cifre di un numero.
interessante questa cosa...tnx
"milizia96":
Ho notato una cosa interessante (che vale finché sia la prima che l'ultima cifra del risultato sono uguali a 1) che permette di compiere due passi in uno facilitando molto le cose.
Partiamo da un certo Bn. A questo punto ci sono due possibilità:
- $B_n < 1231$, allora $B_(n+2) = B_n + 770$
- $B_n > 1221$, allora $B_(n+2) = B_n - 220$
E' chiaro che, se in un "passaggio doppio" faccio Bn +770, nei tre "passaggi doppi" che seguiranno dovrò fare Bn-220.
Inoltre ho dedotto che, ottenendo un certo $Bm$ eseguendo un numero pari di passi partendo da 1051, $Bm - 1051$ sarà necessariamente divisibile per 110.
Partendo da 2011, ho eseguito l'algoritmo al contrario in modo da ottenere un numero con cifre "estreme" uguali a 1.
Con un solo passaggio "inverso" si ottiene 1491.
A questo punto ho provato a fare $1491-1051=440$. Siccome è divisibile per 110, tra 1051 e 1491 ci sarà un numero pari di passi.
Si nota che 440 = 770 - 220 - 220 - 220 + 770 - 220 - 220. (Si parte da 770 perché 1051<1231)
Quindi tra 1051 e 1491 ci saranno esattamente 7 "passaggi doppi", cioé 14 passaggi "normali".
Dato che avevamo eseguito un "passaggio inverso" per ottenere 1491, tra 1051 e 2011 ci saranno 15 passaggi.
Aggiungendo poi i 6 passi necessari per arrivare a 1051, otteniamo in totale 21 passaggi necessari per raggiungere il 2011.
interessante anche questo
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