Numero....capovolto?

[al_berto]

Buon giorno
Qual è il più piccolo numero che diviso per lo stesso numero, ma letto da destra a sinistra, dà resto zero e quoziente >1?
p.s. Si capisce? Ho dovuto stare attento a non usare: inverso,invertito,opposto,contrario, non si sa mai!

[blackbishop13]

Si capisce, ma non è proprio chiaro.. perchè dici un "numero", resto zero e quoziente maggiore di 1...

I simboli matematici ci sono, usiamoli !! io cerco di interpretare:

allora abbiamo $x in NN$ innanzitutto, definiamo (non mi pare che questo nome sia già usato ad indicare qualcosa, ma comunque lo definiamo noi come vogliamo) il "contrario" di $x$:
$contr (x)$ è quel numero che si ottiene prendendo le cifre di $x$ da destra verso sinistra.
esempio: $contr(1753)=3571$

vogliamo trovare il più piccolo $a in NN$ tale che $contr(a) | a$ $^^$ $contr(a)!=a$.

il fatto che siano diversi è la traduzione della tua condizione che il quoziente sia maggiore di 1.
infatti se non ci fosse questa condizione, tutti i numeri palindromi sarebbero numeri di questo tipo, in particolare quelli di una cifra e ovviamente 1 il più piccolo.

[xunil1987]

Ci sono delle cose che non mi quadrano. Stiamo parlando di numeri naturali e questo mi è chiaro. Ma in quale rappresentazione? Decimale, binaria o altro? E in una qualunque rappresentazione ci mettiamo, come definiamo la funzione $contr$ sui numeri la cui rappresentazione finisce con il simbolo $0$? Ad esempio possiamo scrivere $contr(10)=01$?
E il simbolo $01$ poi cosa rappresenta?
Sono incuriosito dalla domanda e credo non sia troppo difficile dimostrare che qualunque rappresentazione fissiamo un numero con questa proprietà non esista. Ma vorrei aver capito bene prima di mettere la penna sul foglio

[al_berto]

Si, hai interpretato bene.

[al_berto]

Esempio : 4321/1234 deve essere un numero intero e > 1 e la risposta sarebbe 4321

[adaBTTLS1]

giacché ci siamo, prendo spunto dall'esempio fatto da xunil1987 e chiedo un'altra cosa:
se la cifra delle unità fosse $0$, il numero "rigirato" avrebbe meno cifre.
ammesso che esista un numero multiplo di $10$ che è multiplo del suo "capovolto", l'eventuale soluzione sarebbe accettabile?

[xunil1987]

Tralasciando per un momento il fatto che la funzione $contr$ possa non essere iniettiva (poichè sostanzialmente di questo si tratta), credo di aver dimostrato che questo numero non esiste.
Supponiamo di aver fissato la base $b \in NN$ e per assurdo esista il numero $x$ per cui vale questa proprietà. Se è di $n+1$ cifre allora la sua rappresentazione sarà:

$x=b^{0}\cdot a_{0}+b^{1}\cdot a_{1}+ \cdots +b^{n}\cdot a_{n}=\sum_{i=0}^{n}b^{i}\cdot a_{i}$
dove gli $a_{i}$ rappresentano le cifre in base $b$. (servirebbe l'ulteriore ipotesi $a_{i} )

mentre il suo "contrario" avrà una rappresentazione di questo tipo


$contr(x)=b^{0}\cdot a_{n}+b^{1}\cdot a_{n-1}+ \cdots +b^{0}\cdot a_{n}=\sum_{i=0}^{n}b^{i}\cdot a_{n-i}$

a questo punto dire che $contr(x)|x \wedge contr(x)\ne x$ significa che esiste un $k \in NN$ con $1
$\sum_{i=0}^{n}b^{i}\cdot a_{i}=k \cdot \sum_{i=0}^{n}b^{i}\cdot a_{n-i}=\sum_{i=0}^{n}k\cdot b^{i}\cdot a_{n-i}$ da cui segue $\sum_{i=0}^{n}b^{i}\cdot (a_{i} - k \cdot a_{n-i})$ da cui, essendo $b^{i} \ne 0 \forall i$, segue

$a_{i}= k \cdot a_{n-i} \forall i$
In particolare questo vale sia per $i$ che per $n-i$ e dunque

$a_{i}= k \cdot a_{n-i}$ e $k \cdot a_{i}= a_{n-i}$ da cui ricaviamo $k^{2} \cdot a_{i}=a_{i}$ che implica in $NN$ che $k$ deve necessariamente essere $1$ il che è assurdo.

Spero che sia tutto corretto e che risponda alla domanda di al_berto.

[al_berto]

Se non erro devo dare 2 risposte:
1)Gli zeri finali. Se si ha un numero (specifico :intero) che termina con uno o più zeri, questi restano anche nel numero capovolto e ciò non ha senso perchè non esistono numeri che iniziano con uno o più zeri senza virgola. I numeri devono avere lo stessa quantità di cifre valide.
2)I numeri con le caratteristiche richieste esistono. Il più grande con sei cifre è 989901/109989=9.

[xunil1987]

Ops... adesso mi devo vergognare di aver scritto una dimostrazione errata!!

[blackbishop13]

"al_berto":
Gli zeri finali. Se si ha un numero (specifico :intero) che termina con uno o più zeri, questi restano anche nel numero capovolto e ciò non ha senso perchè non esistono numeri che iniziano con uno o più zeri senza virgola. I numeri devono avere lo stessa quantità di cifre valide.

perchè dici che non ha senso? non condivido questa affermazione.
ad esempio non possiamo negare che nella scrittura decimale è vera l'eguaglianza $015=15$
perchè $0*10^2+1*10+5=1*10+5$

quindi ad esempio $510$ è un numero soluzione.
Ma allora le cose si complicano molto, per far sì che il gioco mantenga senso dobbiamo inserire tra le condizioni che il nostro numero non termini con uno 0.

[al_berto]

OK, così come è stato posto da me (mea culpa) il quesito, non c'è dubbio che la tua soluzione sia corretta ed effettivamente il numero 510 corrisponde ai requisiti. E ti faccio i miei complimenti per la tua perspicacia. C'è da dire che il mio pensiero era un altro, ma non ho pensato ad escludere gli zeri, per lo meno avrei dovuto specificare che il divisore doveva iniziare con una cifra diversa da zero. Cercherò di stare più attento, sbagliando s'impara . Se qualcuno vuole continuare nella ricerca mi farà piacere. Non c'è alcun trucco, i due numeri sono numeri normalissimi che si imparano alle elementari, forse sono un po' più grandini!

[Umby2]

8712-2178

[adaBTTLS1]

riguardo gli zeri finali, ovviamente ci sono infinite soluzioni "ovvie": $10, 20, 30, ... , 90, 100, 110, 200, 220, ....$
sarebbe carino invece trovare, di questa categoria, le soluzioni non ovvie.

[blackbishop13]

Sì sono molti, anche perchè ogni numero con uno 0 finale che soddisfa la proprietà ne individua infiniti:
510, e allora anche 5100,51000,510000.. eccetera

Umby non credo sia molto interessante il risultato, ma il procedimento..

[xunil1987]

Rimango sempre più sorpreso di questa proprietà che fin dall'inizio credevo falsa per tutti i naturali! Si sta scoperchiando a poco a poco un vaso di Pandora di esempi.
MI piacerebbe conoscere il procedimento per la ricerca e soprattutto chiedo a qualcuno di voi di scoprire dove sta il passaggio sbagliato nei miei calcoli... io ancora non l'ho trovato

[blackbishop13]

Non è semplice vedere dove sbagli, probabilmente per me è più facile perchè la leggo da esterno, mentre tu l'hai pensata e dai certi passaggi per scontati.
comunque per capire dov'è l'errore prova ad applicare la dimostrazione ad un controesempio.

con la soluzione di al_berto $989901$ dovrebbe venire proprio bene, perchè ci sono numeri alti.

Tra l'altro ti risulterà chiaro perchè hai potuto non usare la condizione $a_i

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[al_berto]

Interessante è notare i quozienti che sono per i numeri fino a 6 cifre : 9 oppure 4
9801/1089=9
8712/2178=4
98901/10989=9
87912/21978=4
989901/109989=9
e pare ci siano due serie di numeri che differiscono per l'inserimento di un 9
e anche oltre 9899901/1099989=9
879912/219978=4
trovati 2 si trovano tutti?

[blackbishop13]

OT
al_berto sono curioso, mi diresti che studi fai?
te lo chiedo perchè mi sembra che tu sia molto interessato (e abile) a scrivere programmi per trovare questi particolari numeri, meno all'aspetto matematico che ci sta dietro. è interessante quindi per me, che invece con il computer non so fare niente, e di solito giochi tipo questo devo risolverli a mano.

comunque tornando al gioco:
dimostraimo che $9801=9*1089$ $\Rightarrow$ $98999..99901=9*10999...99989$

svolgiamo il calcolo $9*10999...99989$, riporto i calcoli come si fanno in colonna, otteniamo:
$9*9=1$con il riporto di $8$
$9*8+8=0$ con i riporto di $8$
da qui in poi notiamo che il calcolo è smepre $9*9+8=9$ con il riporto di $8$.
quindi si ottengono tutti i 9 che vuoi, e poi alla fine quando arrivi allo $0$
$9*0+8=8$ e l'ultimo è $9*1=9$

con il $4$ è uguale.

Questa cosa dei $9$ funziona non per magia, ma perchè come sappiamo se $a$ è un numero tra 0 e 9, allora
$9*a=b$ e la somma delle cifre di $b$ fa 9. Quindi quando si fanno le moltiplicazioni il riporto è sempre quello giusto, se è giusto all'inizio.

in conclusione non so se hai trovato tutti i numeri, ma quelli che hai trovato generano una sequenza infinita.

[xunil1987]

Avevo intenzione anch'io di scrivere un piccolo programmino che in input prendesse il numero di cifre $n$ e che in output stampasse tutti i numeri di cifre minori di $n$ con questa proprietà.

Intanto ho scoperto il mio errore facendo una prova con la soluzione di Umby. Ho scoperto che in realtà l'ipotesi $a_{i}indipendente che mi consente di affermare successivamente che $a_{i}-k \cdot a_{n-i}=0 \forall i \leqn$. Ma con questa ipotesi in più non posso più asserire che il termine $k \cdot a_{i}$ sia effettivamente il coefficiente di $b^{i}$ poichè può accadere che $b \leq k \cdot a_{i}$

[al_berto]

Complimenti a Umby e a tutti voi.

@Blackbiskop:che studi HO fatto. Non molti. Sono appassionato di matematica abbinata all'informatica.So poco di matematica.

@Xunil1987: mi interessa l'idea del tuo programmino, ma credo di non aver capito bene: input 4 cifre 4321 output 432 43 4 or 321 32 1 e poi es. 4321 mod 432=0 4321 mod 321=0?

[xunil1987]

Il programmino che ho in mente fa così:

Input: 4
Output: tutti i numeri di al massimo 4 cifre che godono della proprietà.

L'unica cosa che mi viene da fare in questo momento, però, è la forza bruta. Quindi una complessità esponenziale (anzi doppia esponenziale visto che l'input in formato decimale va come esponente sulla lunghezza dell'array da controllare). Per ora magari lo faccio anche se non è molto significativo.

Dal punto di vista della complessità sarebbe interessante stabilire a quale classe di problemi appartiene il tuo quesito. Occorrerebbe formalizzarlo meglio però
Quello che vedo mancare nel problema originario, infatti, è un input. Almeno io in questo momento non riesco a vederlo...