Numero di determinanti in una matrice 2x2.

[curie88]

Buona sera a tutti,
Vi propongo il seguente quesito:
Spero sia comprensibile la sua formulazione, dato che il quesito, è venuto in mente a me. (e chissa' a quanti altri...)
Si consideri una matrice quadrata $2x2$, in cui ciascun elemento, sia compreso tra $1$ e $9$ (estremi compresi).
Quanti determinanti, della matrice, si annullano, se tutti gli elementi della matrice devono essere diversi tra loro?

[axpgn]

Se non ho contato male dovrebbero essere $40$.
Cinque combinazioni diverse per otto permutazioni.

Cordialmente, Alex

[curie88]

Si, Alex, penso sia la soluzione corretta.
Potreste controllare se il seguente procedimento è corretto?

Ciascun determinante "base", potrebbe essere rappresentato dai rispettivi numeri:
$2361,2481,2634,2936$
$3864$
Avremo, per i primi 4 numeri:
A - $1$ solo modo per scegliere la prima cifra ( il $2$ )
B - $4$ modi per scegliere la seconda cifra $(3,4,6,9)$

C - $2 * 1$ modo per scegliere $(6,8,3)$, la $3a$ cifra, (dato che il $3$ si ripete $2$ volte, viene considerato un solo modo)
D - $2 * 1$ modo per scegliere $(1,4,6)$, la $4a$ cifra (dato che l' $1$ si ripete $2$ volte viene considerato un solo modo)
Non sono certo che sia corretto quanto detto in C e D (righe colorate)
E - $4!$ = $24$ permutazioni per il numero $3864$.
In totale: $1*4*2*2+24 = 40$, che coincide con il risultato atteso...

[kobeilprofeta]

A me viene

40

[curie88]

Grazie, ci troviamo, si legge bene il testo postato nel mio messaggio precedente?

[kobeilprofeta]

credo di sí, ma non l'ho capito sinceramente

[curie88]

In effetti non è chiarissimo.
Secondo il metodo che ho utilizzato:
I primi 4 numeri che ho scritto all' inizio di $4$ cifre($2361$,$2481$,$2634$,$2936$), che iniziano con $2$,
si possono "permutare", in $1*4*(2*1)*(2*1) = 16$ modi(procedimento dalla $A$ alla $D$).
Mentre l' ultimo numero $3864$ in $4$! modi.
In totale sono $16+24=40$ modi. Ora è chiaro?

[axpgn]

Non torna ...

Per ciascuna delle $5$ "basi" la prima cifra può essere scelta in $4$ modi diversi, la quarta rimane perciò fissata; la seconda cifra quindi può essere scelta in $2$ modi diversi mentre la terza rimane fissata; in conclusione $5*4*2=40$.

[curie88]

Grazie per la risposta axpgn, non mi è chiaro purtroppo...perché per esempio la quarta cifra rimane fissata se la prima viene scelta in 4 modi differenti?

[axpgn]

Allora ...

Data la matrice $((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))$, il determinante è $a_(11)*a_(22)-a_(12)*a_(21)$.
Affinché sia nullo deve essere $a_(11)*a_(22)=a_(12)*a_(21)$; ora quando tu scegli la prima cifra (cioè $a_(11)$), l'altro fattore (cioè $a_(22)$) non può essere una qualsiasi della altre tre ma una sola, ben determinata.
Per esempio, prendiamo la base $1236$, se la prima cifra è $1$, l'altro fattore può essere solo il $6$.
Chiaro?

Cordialmente, Alex

[curie88]

Si ok, se per esempio le cifre fossero $6$, come nel seguente caso:
$x_1 * x_2 * x_3 - x_4 * x_5 * x_6$
avrei:
$(6 * 2) * (3 * 2) * b$
dove $b$ è il numero di basi.