Numeri scritti su lavagne...
Il numero $99....99$ (composto da $k$ nove, $k \ge 5$), è scritto su una lavagna. Ogni minuto, un addetto scompone un numero $ab$ scritto sulla lavagna in 2 fattori $a$ e $b$ e scrive i numeri $a+2$ o $a-2$ (uno tra i due) e $b+2$ o $b-2$ (ancora uno tra i due), dopodichè cancella il numero $ab$. E' possibile che seguendo queste regole, ad un certo momento tutti i numeri scritti sulla lavagna diventino uguali a 9?
Risposte
La soluzione va data per ogni $k$ o ne basta uno?
"Aethelmyth":
La soluzione va data per ogni $k$ o ne basta uno?
Devi fare una di queste due cose:
a) Dimostrare l'impossibilità di far uscire solo dei 9 sulla lavagna
b) Dimostrare la possibilità fornendo un controesempio o un metodo per arrivare a ridurre tutti i numeri a 9
L'avevo intuito 
chiedevo solo se la dimostrazione dovesse valere per ogni numero $k$ di cifre (maggiore o uguale a cinque) del $999...99$ iniziale o meno. Immagino di no.
chiedevo solo se la dimostrazione dovesse valere per ogni numero $k$ di cifre (maggiore o uguale a cinque) del $999...99$ iniziale o meno. Immagino di no.
Si scusa devi dire per quali k è possibile e per quali non è possibile...
"Jack233":
Il numero $99....99$ (composto da $k$ nove, $k \ge 5$), è scritto su una lavagna. Ogni minuto, un addetto scompone un numero $ab$ scritto sulla lavagna in 2 fattori $a$ e $b$ e scrive i numeri $a+2$ o $a-2$ (uno tra i due) e $b+2$ o $b-2$ (ancora uno tra i due), dopodichè cancella il numero $ab$. E' possibile che seguendo queste regole, ad un certo momento tutti i numeri scritti sulla lavagna diventino uguali a 9?
scusate, sarò rimbambita ma non ho capito il problema.
il testo dice che c'è scritto un numero costituito da k cifre tutte uguali a 9, con $k>=5$.
poi si dice che $ab$, scritto scomposto come $a*b$, perché parla di fattori, è scritto sulla lavagna quando l'addetto lo prende in considerazione.
chi è $ab$ ? inizialmente è tutto il numero $999...9$ ?
o forse si tratta di un generico numero, mentre non è vero che il numero $999...9$ è inizialmente scritto sulla lavagna?
i numeri che vengono scritti dopo vengono giustapposti, oppure si scrive il prodotto tra $a+-2$ e $b+-2$ ?
in base alle varie interpretazioni, cambia completamente il problema, e non è detto che per chiarire i miei dubbi siano sufficienti le risposte a queste domande...
scusate, vedo che una persona ha interloquito con l'autore del topic, e forse il testo è chiarissimo, ma... sareste così gentili da esplicitare meglio i dati per cercare di far partecipare anche persone meno perspicaci come me?
grazie. ciao.
"adaBTTLS":
il testo dice che c'è scritto un numero costituito da k cifre tutte uguali a 9, con $k>=5$.
poi si dice che $ab$, scritto scomposto come $a*b$, perché parla di fattori, è scritto sulla lavagna quando l'addetto lo prende in considerazione.
chi è $ab$ ? inizialmente è tutto il numero $999...9$ ?
o forse si tratta di un generico numero, mentre non è vero che il numero $999...9$ è inizialmente scritto sulla lavagna?
i numeri che vengono scritti dopo vengono giustapposti, oppure si scrive il prodotto tra $a+-2$ e $b+-2$ ?
All'inizio c'è scritto $999...9$ (un unico numero formato da k cifre 9);ogni minuto l'addetto osserva i numeri scritti sulla lavagna, ne sceglie uno, lo scompone in due fattori e scrive i due fattori aumentati O diminuiti di 2 (in modo indipendente, cioè il primo diminuito e il secondo aumentato, o viceversa, o entrambi aumentati, o entrambi diminuiti), e così via....
grazie per il tentativo di chiarimento. faccio un esempio per vedere se ho capito.
mettiamo che ci sia scritto all'inizio 99 (scrivo solo due cifre per semplicità).
all'inizio l'addetto trova solo quel numero di k cifre 9. deve prendere quello. interamente, cioè tutte le cifre (999...9, nel mio caso semplificato 99)?
scelglie ad esempio di scomporre 99=33*3, ed allora decide di fare 32*4=128. in tal caso scriverà 128 al posto di 99?
in questo modo dopo un altro minuto trova scritto 128 e deve prendere tale numero.
dunque quando "sceglie" l'addetto? perché in questo modo è "costretto" a prendere l'unico numero scritto.
indipendentemente dal procedimento che potrebbe essere diverso (ancora non mi è chiaro), il quesito chiede se ci potrà essere un istante successivo in cui sulla lavagna sarà scritto ancora un numero formato da tutte le cifre uguali a 9 (o necessariamente succederà) ?
mettiamo che ci sia scritto all'inizio 99 (scrivo solo due cifre per semplicità).
all'inizio l'addetto trova solo quel numero di k cifre 9. deve prendere quello. interamente, cioè tutte le cifre (999...9, nel mio caso semplificato 99)?
scelglie ad esempio di scomporre 99=33*3, ed allora decide di fare 32*4=128. in tal caso scriverà 128 al posto di 99?
in questo modo dopo un altro minuto trova scritto 128 e deve prendere tale numero.
dunque quando "sceglie" l'addetto? perché in questo modo è "costretto" a prendere l'unico numero scritto.
indipendentemente dal procedimento che potrebbe essere diverso (ancora non mi è chiaro), il quesito chiede se ci potrà essere un istante successivo in cui sulla lavagna sarà scritto ancora un numero formato da tutte le cifre uguali a 9 (o necessariamente succederà) ?
Sottoscrivo le domande di adaBTTLS: il problema non è chiaro.
Inoltre se all'izione c'è un numero con $k$ cifre tutte uguali a $9$ e non ve ne sono altri, il problema è gia risolto: l'istante in cui vi sono tutti $9$ è quello in cui parte il cronometro per conteggiare il minuto durante il quale l'addetto pensa come scomporre il numero.
Inoltre se all'izione c'è un numero con $k$ cifre tutte uguali a $9$ e non ve ne sono altri, il problema è gia risolto: l'istante in cui vi sono tutti $9$ è quello in cui parte il cronometro per conteggiare il minuto durante il quale l'addetto pensa come scomporre il numero.
"adaBTTLS":
grazie per il tentativo di chiarimento. faccio un esempio per vedere se ho capito.
mettiamo che ci sia scritto all'inizio 99 (scrivo solo due cifre per semplicità).
all'inizio l'addetto trova solo quel numero di k cifre 9. deve prendere quello. interamente, cioè tutte le cifre (999...9, nel mio caso semplificato 99)?
scelglie ad esempio di scomporre 99=33*3, ed allora decide di fare 32*4=128. in tal caso scriverà 128 al posto di 99?
in questo modo dopo un altro minuto trova scritto 128 e deve prendere tale numero.
dunque quando "sceglie" l'addetto? perché in questo modo è "costretto" a prendere l'unico numero scritto.
indipendentemente dal procedimento che potrebbe essere diverso (ancora non mi è chiaro), il quesito chiede se ci potrà essere un istante successivo in cui sulla lavagna sarà scritto ancora un numero formato da tutte le cifre uguali a 9 (o necessariamente succederà) ?
Mi pare che la regola esposta da Jack233 preveda una cosa diversa - se parti da $n_0=99$ e lo scomponi in $33*3$ ti ritrovi con i fattori $a=33$ e $b=3$.
A questo punti scegli, ad esempio $a-2=31$ e $b+2=5$, cancelli $n_0=99$ e scrivi $n_{1,1}=31$ e $n_{1,2}=5$ - quindi dopo il primo passo ti ritrovi due numeri sulla lavagna.
Iterando direi che al passo $k$ ti ritrovi con $k$ numeri.
Credo allora che la domanda sia se e' possibile dopo $k$ passi avere $k$ numeri tutti eguali a $9$ ( se e' cosi' la soluzione di WiZaRd non va bene.
sì, avevo dimenticato che bisognava aumentare o diminuire di 2 e non di 1.
grazie, Vicious, del chiarimento. forse la tua interpretazione è corretta ma a questo punto i numeri che devono essere tutti nove (solo 9 o numeri costituiti da cifre tutte uguali a 9?) sono in numero m dopo (m-1) passi: non credo che debbano essere k (cioè necessariamente lo stesso numero delle cifre iniziali)...
vedremo l'evoluzione del topic...
ciao.
grazie, Vicious, del chiarimento. forse la tua interpretazione è corretta ma a questo punto i numeri che devono essere tutti nove (solo 9 o numeri costituiti da cifre tutte uguali a 9?) sono in numero m dopo (m-1) passi: non credo che debbano essere k (cioè necessariamente lo stesso numero delle cifre iniziali)...
vedremo l'evoluzione del topic...
ciao.
"adaBTTLS":
sì, avevo dimenticato che bisognava aumentare o diminuire di 2 e non di 1.
grazie, Vicious, del chiarimento. forse la tua interpretazione è corretta ma a questo punto i numeri che devono essere tutti nove (solo 9 o numeri costituiti da cifre tutte uguali a 9?) sono in numero m dopo (m-1) passi: non credo che debbano essere k (cioè necessariamente lo stesso numero delle cifre iniziali)...
vedremo l'evoluzione del topic...
ciao.
Si' scusa, scrivendo non mi ero ricordato che $k$ indicava il numero iniziale di cifre.
figurati... anzi grazie, ché si comincia a vedere "un po' di luce"!
però aspettiamo ancora alcune risposte da chi ha formulato il quesito...
però aspettiamo ancora alcune risposte da chi ha formulato il quesito...
"ViciousGoblin":
Mi pare che la regola esposta da Jack233 preveda una cosa diversa - se parti da $n_0=99$ e lo scomponi in $33*3$ ti ritrovi con i fattori $a=33$ e $b=3$.
A questo punti scegli, ad esempio $a-2=31$ e $b+2=5$, cancelli $n_0=99$ e scrivi $n_{1,1}=31$ e $n_{1,2}=5$ - quindi dopo il primo passo ti ritrovi due numeri sulla lavagna.
Iterando direi che al passo $k$ ti ritrovi con $k$ numeri.
Credo allora che la domanda sia se e' possibile dopo $k$ passi avere $k$ numeri tutti eguali a $9$ ( se e' cosi' la soluzione di WiZaRd non va bene.
E' giustissima la tua interpretazione... non avrei potuto spiegarlo meglio
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