Numeri primi

[ilyily87]

alloooooooora...

dimostrare che ogni numero primo deve essere del tipo 4n+1 o 4n-1.

personalmente...nn so da dove iniziare!Sigh!

[Mistral2]

quote:

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Originally posted by ilyily87

alloooooooora...

dimostrare che ogni numero primo deve essere del tipo 4n+1 o 4n-1.

personalmente...nn so da dove iniziare!Sigh!

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Devi escludere 2 che è primo e per cui non vale quanto affermi, fatto questo il ragionamento e quello che segue.

Ogni numero primo diverso da 2 è dispari.
Ogni numero dispari è della forma 2m+1 quindi se m=2n hai un caso se m=2n-1 hai l'altro.

Saluti
Mistral

[ilyily87]

si ma poi dovrei dimostrare anche che "Ogni numero dispari è della forma 2m+1"

[jack110]

per definizione un numero è pari quando è divisibile per due, quindi OGNI numero pari è della forma 2m;adesso, chiamando 2(m+1) il numero pari successivo(e sappiamo che questo è l' immediato numero pari successivo), sai che fra i due c'è sempre un numero "non pari", pertanto poichè il successivo numero pari di 2m è 2m+2, fra i due deve starvi un numero 2m+1, che non è pari, e siccome i due numeri pari sono due numeri qualsiasi, allora anche il numero "non pari" è un numero qualsiasi, e quindi abbiamo che ogni numero "non pari" qualsiasi è esprimibile nella forma 2m+1...
non so quanto possa essere valida questa dimostrazione...

ciao

ps se anche la mia dimostrazione non fosse valida, immagino che esista un ottimo modo di dimostrare l' ipotesi....[:)]

[Pachito1]

L'insieme dei numeri dispari maggiori di 1 corrisponde all'unione degli insiemi del tipo 4n+1 , 4n-1.

quote:

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Originally posted by ilyily87

alloooooooora...

dimostrare che ogni numero primo deve essere del tipo 4n+1 o 4n-1.

personalmente...nn so da dove iniziare!Sigh!

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2 è un numero primo. La tesi e falsa.

[Mistral2]

quote:

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Originally posted by ilyily87

si ma poi dovrei dimostrare anche che "Ogni numero dispari è della forma 2m+1"

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Definizione: Un numero è dispari se non è divisibile per 2.
Definizione: Se 2 divide il numero N vuol dire che esiste m tale che N=2m. Cioè il resto per dividendo per 2 è 0.

Quindi un numero dispari deve dare un resto non nullo se diviso per 2. L'unico resto non nullo possibile dividendo per 2 è 1. Quindi hai che ogni numero dispari è del tipo 2m+1.
Saluti
Mistral

[ilyily87]

Vi ringrazio...siete stati davvero gentili.
l'ultima cosa...

quote:

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Originally posted by Mistral
se m=2n hai un caso se m=2n-1 hai l'altro.

Saluti
Mistral

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perchè ad m dovrei dare proprio + o - 2n

[jack110]

m può essere o pari (m=2n) o dispari (m=2n+1), e sostituendo hai
2*(2n)+1=4n+1 oppure 2*(2n+1)+1=4n+3; l' ultimo è riscrivibile come 4k-1 (dove k>m)(visto che (4m+3)+1=4k---->4k-1=4m+3...)
ps Mistral ha posto invece di m=2n+1, m=2n-1, per evitare un passaggio in più...quello che va da 4m+3 a 4k-1...
ciao

[ilyily87]

quote:

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Originally posted by jack

m può essere o pari (m=2n) o dispari (m=2n+1)ciao

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ma non abbiamo detto che i numeri primi sono tutti dispari?

[jack110]

beh, 2 è un numero pari, eppure è primo...comunque, a parte 2, tutti gli altri sono dispari...e quindi li puoi esprimere nella forma 2n+1, dove però n può essere o pari o dispari...per esempio 13, che è dispari è esprimibile come 2*(6) +1, e in questo caso vedi che n è tranquillamente pari...

ciao

[ilyily87]

scusami ma nn riesco proprio a seguirti... uffa... perchè 4n+3 lo scriviamo come come 4k-1 ?!?!

[jack110]

ciao!
dunque...se prendiamo un qualsiasi multiplo di 4, e gli aggiungiamo 3, otteniamo un numero della forma 4n+3, dove n è un numero naturale...adesso, immagina di aggiungere 1 a questo numero; ottieni 4n+3+1---->4n+4, adesso raccogliendo a fattor comune, hai4(n+1),chiama k=n+1; adesso se da 4(n+1) togliamo 1, otteniamo 4n+3 (perchè infatti 4(n+1) è uguale a 4k+3+1...quindi di fatto facciamo 4k+3 +1-1, quindi quello che otteniamo è 4k+3), e si ha
4(n+1)-1----->4k-1, dove k è un numero naturale...
ecco perchè possiamo scrivere un numero nella forma 4n+3, in 4k-1...
spero sia tutto chiaro [:)]