Non aprite...quegli esercizi
1)
1215 e' multiplo di 221.Come e' possibile?
2)
Il triangolo acutangolo ABC e' inscritto nella circonferenza
di centro O e la bisettrice dell'angolo BAC interseca BC in D.
Da D si conduca la perpendicolare ad AO che intersechi AC
in P. Dimostrare che AP=AB
3)
Determinare ( con giustificazione) tutte le coppie (x,y)
di interi positivi tali che risulti:
$x^2+615=2^y$
karl
1215 e' multiplo di 221.Come e' possibile?
2)
Il triangolo acutangolo ABC e' inscritto nella circonferenza
di centro O e la bisettrice dell'angolo BAC interseca BC in D.
Da D si conduca la perpendicolare ad AO che intersechi AC
in P. Dimostrare che AP=AB
3)
Determinare ( con giustificazione) tutte le coppie (x,y)
di interi positivi tali che risulti:
$x^2+615=2^y$
karl
Risposte
1) E' possibile se i due numeri sono scritti in base 9.
1) Basta risolvere negli interi $alpha^3+2alpha^2+alpha+5=m(2alpha^2+2alpha+1)$
che da il valore della base numerica $alpha$ per cui 1215 è multiplo di 221
che da il valore della base numerica $alpha$ per cui 1215 è multiplo di 221
Scusa MaMo non avevo visto la tua risposta, comunque sviluppando i calcoli si vede che $alpha=9$ è l'unica soluzione dell'equazione.
3) Osserviamo che se $y$ è dispari, l'ultima cifra di $2^y$ è $8$ oppure $2$, perché l'ultima cifra di $2^y$ segue il ciclo $2,4,8,6,2,4,8,6,....$. Dunque l'ultima cifra di $2^y-615$ è $7$ oppure $3$. Ma allora non può essere che $x^2=2^y-615$, perché è facile verificare che l'ultima cifra di un quadrato perfetto non è mai $7$ o $3$ (tecnicamente, $3$ e $7$ non sono residui quadratici modulo $10$).
Resta dunque il caso $y=2k$. Ma allora $615=2^(2k)-x^2$, e dunque $615=(2^k+x)(2^k-x)$, Segue dunque che $k<=10$ e dunque $y<=20$. Inoltre, poché deve essere $x^2=2^y-615$, $y>=10$. Quindi $y=10,12,14,16,18,20$ sono i soli casi possibili. Risulta dunque che l'unica soluzione è $y=12$, con $2^(12)-615=59^2$.
Resta dunque il caso $y=2k$. Ma allora $615=2^(2k)-x^2$, e dunque $615=(2^k+x)(2^k-x)$, Segue dunque che $k<=10$ e dunque $y<=20$. Inoltre, poché deve essere $x^2=2^y-615$, $y>=10$. Quindi $y=10,12,14,16,18,20$ sono i soli casi possibili. Risulta dunque che l'unica soluzione è $y=12$, con $2^(12)-615=59^2$.
Ottimo lavoro di tutti.Per il 3° esercizio si puo' anche lavorare
in modulo 5 osservando che ,se y e' dispari,il primo membro porta
ai residui 0,1 e 4 mentre il secondo a 2 e 3.Pertanto l'eguaglianza
regge solo per y pari.Si ha quindi:
$[2^(y//2)-x]* [2^(y//2)+x]=3*5*41$
Questa relazione si scinde in altre 4 di cui una sola porta a soluzioni:
$2^(y//2)-x=5;2^(y//2)+x=123$ che restituisce i risultati gia' trovati
egregiamente da fields:x=59,y=12
Chi prova il quesito di geometria?
karl
in modulo 5 osservando che ,se y e' dispari,il primo membro porta
ai residui 0,1 e 4 mentre il secondo a 2 e 3.Pertanto l'eguaglianza
regge solo per y pari.Si ha quindi:
$[2^(y//2)-x]* [2^(y//2)+x]=3*5*41$
Questa relazione si scinde in altre 4 di cui una sola porta a soluzioni:
$2^(y//2)-x=5;2^(y//2)+x=123$ che restituisce i risultati gia' trovati
egregiamente da fields:x=59,y=12
Chi prova il quesito di geometria?
karl
Supponiamo che P cada internamente ad AC .
Sia CAD = DAB = a , OAC = b.
Risulta
APD = 90-b
ADP = 90-a+b
COB = 4a
ABC = ABO + CBO = (2a-b) + (90-2a) = 90-b
ADB = 90-a+b
I triangoli ABD e ADP sono uguali per il secondo criterio e da questo segue AP = AB.
Sia CAD = DAB = a , OAC = b.
Risulta
APD = 90-b
ADP = 90-a+b
COB = 4a
ABC = ABO + CBO = (2a-b) + (90-2a) = 90-b
ADB = 90-a+b
I triangoli ABD e ADP sono uguali per il secondo criterio e da questo segue AP = AB.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo