Nel triangolo equilatero

[Sk_Anonymous]

Questo l'ho trovato carino. Ovviamente possiedo una mia soluzione.

Considerato un triangolo equilatero di altezza [tex]$h$[/tex] e detto [tex]$\mathrm{P}$[/tex] un suo qualsiasi punto interno, si indichino con [tex]$x$[/tex], [tex]$y$[/tex] e [tex]$z$[/tex] le distanze di [tex]$\mathrm{P}$[/tex] dai lati del triangolo. Che relazione sussiste tra la somma [tex]$x+y+z$[/tex] e [tex]$h$[/tex]?

[xXStephXx]

$x+y+z=h$

[Sk_Anonymous]

Yess!

[Mrhaha]

Bello,intuitivamente è venuto anche a me così! Ma c'è una spiegazione "rigorosa"?

[milizia96]

Ecco la mia dimostrazione:

Disegnato il triangolo e il punto $P$ al suo interno, tracciamo da $P$ la parallela a uno dei lati del triangolo, per esempio quello distante $x$ da P. In questo modo individuiamo un secondo triangolo simile al primo, e quindi sempre equilatero, e $P$ appartiene a uno dei suoi lati. Il lato che contiene $P$ risulta diviso in due segmenti: chiamiamoli $a$ e $b$. Questi due segmenti sono le ipotenuse di due triangoli rettangoli con angoli di $30^circ$ e $60^circ$, pertanto $z$ e $y$ misurano rispettivamente $sqrt(3)/2 b$ e $sqrt(3)/2 a$ che sommati danno $sqrt(3)/2 (a+b)$, cioè l'altezza del secondo triangolo.
Se poi sommiamo questa altezza a $x$, otteniamo $h$

[xXStephXx]

Certamente è dimostrabile. E in matematica devi dimostrare tutto, (in teoria) non si possono fare affermazioni ad intuito, anche se naturalmente è importante tirare fuori cose ad intuito, perchè otterresti buoni risultati in molte occasioni (spero che i guru non la prendano come bestemmia..)
Comunque metto la dimostrazione nello spoiler.

Anzitutto dimostro che comunque sia disposto il punto $P$, la somma tra x, y e z è costante.
E metto la figura altrimenti non si capisce niente xD

$PA=x$, $PB=y$, $PC=z$.
Ora sposto il punto $P$ lungo $z$, in modo da accorciare $z$ e dimostro che l'allungamento che ne consegue di $y+x$ rimpiazza completamente l'accorciamento di $z$.

Scusami per la scarsa qualità della figura, ma con Paint è dura.. Allora in pratica ho spostato il punto $P$ in basso lungo $z$, ora $P$ sta nel punto di incontro tra i segmenti blu. Siccome i tre quadrilateri grandi hanno angoli di $90°$, $90°$, $60°$, l'ultimo è di $120°$. E quindi il supplementare è di $60°$. Quindi i tre triangolini piccoli hanno angoli di $30°$, $60°$, $90°$. Quindi si nota ora che il segmento di cui è diminuito $z$ è doppio sia del segmento di cui è aumentato $x$, sia del segmento di cui è aumentato $y$, (per la proprietà dei triangoli di 30,60,90). E quindi il segmento di cui è diminuito $z$ è uguale al segmento di cui è aumentato $x$ + il segmento di cui è aumentato $y$. Ovvero la somma di $x+y+z$ è rimasta uguale a prima..
Quindi ora arriva la parte bella... Ovunque si trovi questo punto $P$, io operando con accorciamenti di $x$, $y$, $z$, come fatto prima, posso spostare il punto $P$ nel baricentro del triangolo equilatero, lasciando la somma di $x+y+z$ invariata. Una volta che il punto $P$ è nel baricentro si nota che sia x, che y, che z, sono uguali ad $1/3$ dell'altezza, perchè la parte di altezza che tocca il lato è il doppio di quella che tocca il vertice opposto (proprietà acquisita dalle mediane che qua coincidono con l'altezza).
quindi $x+y+z=3*1/3h$ ovvero: $x+y+z=h$.

[cenzo1]

Una soluzione alternativa:

Detto $a$ il lato del triangolo, si congiunga il punto P con i vertici A,B,C in modo da ottenere 3 triangoli di area rispettivamente $ax/2$, $ay/2$, $az/2$.
La somma di queste 3 aree equivale all'area dell'intero triangolo, quindi:
$ax/2+ay/2+az/2=ah/2->a/2(x+y+z)=a/2h->x+y+z=h$.

[size=70]Edit: corretti refusi ortografici[/size]

[Sk_Anonymous]

Ovviamente, Mrhaha, il tutto va dimostrato con cura.
Evito di scrivere il modus operandi per il quale optai, giacché già tre differenti soluzioni sono state proposte.

[Mrhaha]

Grazie ragazzi,gentilissimi!

[ant.py]

"Delirium":
Evito di scrivere il modus operandi per il quale optai, giacché già tre differenti soluzioni sono state proposte.

e perchè? è sempre bello vedere dimostrazioni diverse

[xXStephXx]

Soprattutto qua che ce ne sono una miriade.