Nascere di Martedì

[axpgn]

Una volta, ad un meeting in onore di Martin Gardner, un creativo creatore di puzzle presento un problema con queste tre frasi:
- Io ho due figli
- Uno è maschio ed è nato di Martedì
- Quante probabilità ci sono che io abbia due maschi?
Poi aggiunse: "Vi chiederete cosa c'entri il Martedì; c'entra moltissimo."
E se ne andò.

Quindi, quante probabilità ci sono che lui abbia due maschi?

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Carino

è molto simile al paradosso dei bambini. Supponendo che le probabilità di avere un maschio o una femmina siano equiprobabili, come equiprobabili sono il giorno della settimana in cui nascono.
Sappiamo due cose,
-almeno un figlio è maschio ed è nato il martedì, indichiamo con \( M_{\text{martedi}} \) questo figlio.
Non sappiamo però se è il figlio più grande o il più piccolo. Le coppie \( (X_1,X_2) \) di figli dove \(X_1\) è il più grande possono essere
\( (M_{\text{martedi}},M), (M,M_{\text{martedi}}), (M_{\text{martedi}},F),(F,M_{\text{martedi}}) \), e così sembrerebbe equiprobabile. Consideriamo tutte le coppie possibili di giorni di nascita.
Per la coppia 1) ovvero \( (M_{\text{martedi}},M) \) le coppie possibili di giorni di nascita sono:
\( (\text{martedi},\text{lunedi}) ,\ldots, (\text{martedi},\text{domenica}) \).
Per la coppia 2) (due maschi)
\( (\text{lunedi},\text{martedi}) ,\ldots, (\text{domenica},\text{martedi}) \).
Per la coppia 3) (maschio e femmina)
\( (\text{martedi},\text{lunedi}) ,\ldots, (\text{martedi},\text{domenica}) \).
Per la coppia 4) (femmina e maschio).
\( (\text{lunedi},\text{martedi}) ,\ldots, (\text{domenica},\text{martedi}) \).
Quante coppie vi sono? Saremmo tentati di rispondere \(28\), ma ve ne sono \(27 \) poiché il buon vecchio creatore di questo puzzle non ci ha detto se il figlio maschio e nato di martedì è il più grande o il più piccolo. Pertanto la coppie 1) \((\text{martedi},\text{martedi})\) e la coppia 2) \((\text{martedi},\text{martedi}) \) sono la stessa coppia. Quindi la probabilità che vi siano due maschi equivale alla probabilità di contare i giorni favorevoli. Dunque la probabilità che lui abbia due maschi è
\[ \frac{13}{27} \]

[axpgn]

Bravo!

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Pensavo che il fatto che avessi scritto Martedì (maiuscolo) fosse un tranello (tipo nome proprio di persona)...

[axpgn]

Era solo per metterlo in evidenza, che fosse chiaro …

[Bokonon]

[ot]Immagino che l'originale usasse Monday[/ot]

[axpgn]

[ot]No, è proprio Tuesday. Perché supponi questo?[/ot]

[Bokonon]

[ot]

"axpgn":No, è proprio Tuesday. Perché supponi questo?

Perchè, prima di uscire, ho pensato che il maiuscolo fosse stato utilizzato appositamente per depistare.
Maschio-Martedì
Male-Monday

Quindi devo dedurre che scrivi i giorni in maiuscolo?
Comunque, senza contare il giorno, la prob sarebbe stata 1/3.
Contando i giorni e i possibili abbinamenti...non ci ho voglia di farlo [/ot]

[axpgn]

[ot]Lo so che in generale si scrivono con l'iniziale minuscola ma si può usare la maiuscola quando si vuole evidenziare in modo particolare, ed è quello che ho voluto fare (evidenziare) e non depistare [/ot]

[andomito]

"Bokonon":[ot]...
Comunque, senza contare il giorno, la prob sarebbe stata 1/3.
Contando i giorni e i possibili abbinamenti...non ci ho voglia di farlo [/ot]

La corretta osservazione di Bokonon (se non avesse detto il giorno la probabilità era 1/3 poiché la popolazione di eventi residui era Maschio-maschio, Maschio-femmina e Femmina-maschio) mi ha fatto riflettere.
Sembra un paradosso che dicendo il giorno di nascita (e un giorno di nascita c'è sempre) si facciano collassare le probabilità di fallimento da 2/3 a 14/27!
Ma in effetti dicendo uno specifico giorno elimino un'enorme quantità di casistiche per cui la probabilità media di fallimento è più alta di 2/3.
E' un chiaro esempio di come informazioni apparentemente irrilevanti possano fare la differenza.

[axpgn]

"andomito":E' un chiaro esempio di come informazioni apparentemente irrilevanti possano fare la differenza.

Vedi anche qui

[Bokonon]

@andomito
Sono chiari esempi di come la probabilità evolva da una situazione di "completa ignoranza" in base alle nuove informazioni. Statistica bayesiana