'na bella e divertente equazioncina... very easy!

[fu^2]

trovare tutti gli interi x e y che soddisfano la seguente equazione:

$x^2007=y^2007-y^1338-y^669+2$

[Mega-X]

il "very easy" è relativo..

[fu^2]

"Mega-X":il "very easy" è relativo..

boh magari l'ho risolta male, però non ho trovato troppe difficoltà (salvo errori stupidi del sonno)

ps il very easy serve per attirare lettori soprattutto

notte

[G.D.5]

x=1
y=1
?????

[fu^2]

si, ma devi anche dire perchè non ce ne sono altre

o se ce ne sono trovarle...

[clrscr]

Dunque io ci provo..

Allora chiamiamo:
$t=x^669$ e $z=y^669$, ora al nostra equazione può essere riscritta come:
$t^3=z^3-z^2-z+2, t,z in ZZ$. Ora si vede che il secondo termine non è un cubo perfetto al di fuori di $z= +-1$.

[fu^2]

bella la tua soluzione... la mia è lunga kilometri

molto carina davvero

[Steven11]

Clrscr, dovresti provare che il secondo membro non è mai un cubo perfetto a eccezione di quei valori.

[clrscr]

Si, in effetti hai ragione..duqua:

Prendiamo l'espressione $z^3-z^2-z+2$ descritta in precedenza, dobbiamo dimostrare che non può mai essere un cubo perfetto....
Innanzitutto tale espressione deve avere un risulato intero, su tale considerazione si fonda il mio risultato.
L'espressione può essere scritta come:
$z(z^2-z-1)+2$ dunque $z^2-z-1 deve in ZZ$, dunque $z^2-z-1=(z+ (-1+sqrt(5))/2)*(z+(-1-sqrt(5))/2) = (z+1/2)^2 - 5/4 = ((2*z+1)^2 -5)/4$ il numeratore deve essere quindi divisibile per 4, condizione verificata solamente per i 2 valori trovati precedentemente.....provare per credere...

[Steven11]

"clrscr":Si, in effetti hai ragione..duqua:

Prendiamo l'espressione $z^3-z^2-z+2$ descritta in precedenza, dobbiamo dimostrare che non può mai essere un cubo perfetto....
Innanzitutto tale espressione deve avere un risulato intero, su tale considerazione si fonda il mio risultato.
L'espressione può essere scritta come:
$z(z^2-z-1)+2$ dunque $z^2-z-1 deve in ZZ$, dunque $z^2-z-1=(z+ (-1+sqrt(5))/2)*(z+(-1-sqrt(5))/2) = (z+1/2)^2 - 5/4 = ((2*z+1)^2 -5)/4$ il numeratore deve essere quindi divisibile per 4, condizione verificata solamente per i 2 valori trovati precedentemente.....provare per credere...

Per $z=2$ abbiamo
$((2*z+1)^2 -5)/4=((2*2+1)^2 -5)/4=(25 -5)/4=5$

[fu^2]

"+Steven+":[quote="clrscr"]Si, in effetti hai ragione..duqua:

Prendiamo l'espressione $z^3-z^2-z+2$ descritta in precedenza, dobbiamo dimostrare che non può mai essere un cubo perfetto....
Innanzitutto tale espressione deve avere un risulato intero, su tale considerazione si fonda il mio risultato.
L'espressione può essere scritta come:
$z(z^2-z-1)+2$ dunque $z^2-z-1 deve in ZZ$, dunque $z^2-z-1=(z+ (-1+sqrt(5))/2)*(z+(-1-sqrt(5))/2) = (z+1/2)^2 - 5/4 = ((2*z+1)^2 -5)/4$ il numeratore deve essere quindi divisibile per 4, condizione verificata solamente per i 2 valori trovati precedentemente.....provare per credere...

Per $z=2$ abbiamo
$((2*z+1)^2 -5)/4=((2*2+1)^2 -5)/4=(25 -5)/4=5$[/quote]

però se $z=2$ allora $y^(669)=2$ quindi y non può essere intero, esce quindi dalle condizioni poste all'inizio del problema

[G.D.5]

Chiedo scusa per la min****ta che precedentemente avevo scritto e ringrazio fu^2 per avermela segnalata.

Ancora scusa.

[fu^2]

"WiZaRd":Sia $n in mathbb{Z} \ \\ \ {+-1}; se $n=2k$ con $k in mathbb{Z}$ allora $n^3=(2k)^3=8k^3$; se $n=2k+1$ con $k in mathbb{Z} \ \\ \ {0}$ allora $n^3=(2k+1)^3=8k^3+1+8k^2+4k$.

non ho letto con attenzione tutto, ma $(2k+1)^3=8k^3+1+12k^3+6k$ e non quello che hai scritto te... o sbaglio?


quindi il resto che fornisce questo polinomio diviso 4 non è solo 1...

[Steven11]

"fu^2":
però se $z=2$ allora $y^(669)=2$ quindi y non può essere intero, esce quindi dalle condizioni poste all'inizio del problema

Va bene, ma comunque non è provato che quell'espressione è verificata solo per $z=1,-1$, potrebbe restituire valori accettabili per il problema.

"fu^2":non ho letto con attenzione tutto, ma $(2k+1)^3=8k^3+1+12k^3+6k$ e non quello che hai scritto te... o sbaglio?

Nemmeno quello che hai scritto tu allora, c'è un cubo invece di un quadrato
Facciamola finita,
$(2k+1)=8k^3+1+6k+12k^2$


Buona serata a tutti

[TomSawyer1]

"clrscr":
$z(z^2-z-1)+2$ dunque $z^2-z-1 deve in ZZ$, dunque $z^2-z-1=(z+ (-1+sqrt(5))/2)*(z+(-1-sqrt(5))/2) = (z+1/2)^2 - 5/4 = ((2*z+1)^2 -5)/4$ il numeratore deve essere quindi divisibile per 4, condizione verificata solamente per i 2 valori trovati precedentemente.....provare per credere...

$(2z+1)^2-5=4z^2+4z-4$, che è sempre divisibile per $4$.

[G.D.5]

Ma allora come si risolve questa simpaticissima equazione???

C'è qualcuno che ne abbia idea.

Grazie.

[Sk_Anonymous]

Vedete se va bene questa.
Poniamo $x^(669)=u,y^(669)=v$ e così l'equazione proposta diventa:
(1) $u^3=v^3-v^2-v+2$
Oppure:
$u^3=(v-1)^3+(2v^2-4v+3)$
Poiche' $2v^2-4v+3>0$ per ogni valore reale di v ,segue che e' :
$u>v-1$
Facciamo ora 3 ipotesi:
(a) v-1 , (b) u=v , (c) u>v

(a)
Se v e' intero,come e' richiesto,allora v-1 e v sono interi consecutivi ed u non puo' essere intero.Ipotesi da scartare.

(b)
Per u=v la (1) diventa:
$v^2+v-2=0$ da cui:
v=-2 che non porta a soluzioni intere di x ed y
v=1 che porta a u=1 e x=y=1 da accettare

(c)
Da u>v si trae $u^3>v^3$ ovvero per la (1) $v^2+v-2<0$ e cioe' -2
Ora gli unici interi contenuti nell'intervallo aperto ]-2,1[ sono v=-1 e v=0
Per v=0 sempre da (1) segue $u^3=2$ da scartare
Per v= -1 la (1) fornisce u=1.Quindi u=1,v=-1-->x=1,y=-1
In conclusione le uniche soluzioni intere (x,y) dell''equazione sono le coppie (1,-1) e (1,1) .
karl
P.S.
Se la soluzione e' giusta non rispondo a Patrone sulla Birmania ,altrimenti sono guai per lui !!!

[fu^2]

non mi pare ci siano errori