$n^3+3n=q^2$
Per quali $n in NN$ si ha che $n^3+3n$ è un quadrato perfetto?
Risposte
$n=1$ e $n=3$
"superpippone":Non solo
$n=1$ e $n=3$
In maniera un po' brutale:
\( n = 0 \) è soluzione dell'equazione per \( q=0 \).
Se \( n \ne 0 \) non è un quadrato \( > 1 \):
\[
\begin{split}
n^3 + 3n = q^2 \iff &n(n^2 + 3) = q^2\\
\Longrightarrow &n \ | \ q^2 \\
\Longrightarrow &q^2 = n^2 \cdot m^2
\end{split}
\]
da cui
\[
\begin{split}
n^3 + 3n = q^2 \iff &n^2 + 3 = n \cdot m^2\\
\Longrightarrow &n \ | \ n^2 + 3 \\
\Longrightarrow &n \ | \ 3 \\
\end{split}
\]
Quindi le uniche possibili soluzioni sono \( n = 1 \) e \( n = 3 \), e si verifica che lo sono entrambe.
Se \( n = m^2 \ne 0, \ m \geq 2 \):
\[
\begin{split}
n^3 + 3n = q^2 &\iff m^2(m^4 + 3) = q^2\\
&\iff m^4 + 3 = p^2 \\
&\iff p^2 - m^4 = 3 \\
&\iff (p + m^2)(p - m^2) = 3 \\
&\iff \begin{cases}
p+m^2 = 3\\
p-m^2 = 1
\end{cases}\\
&\iff p=2, \ m^2 = 2\\
\end{split}
\]
Ergo, non ci sono altre soluzioni in \(\mathbb{N}\) oltre alla soluzione banale ed alle due non-banali trovate da superpippone.
Se c'è una soluzione furba, non l'ho trovata.
\( n = 0 \) è soluzione dell'equazione per \( q=0 \).
Se \( n \ne 0 \) non è un quadrato \( > 1 \):
\[
\begin{split}
n^3 + 3n = q^2 \iff &n(n^2 + 3) = q^2\\
\Longrightarrow &n \ | \ q^2 \\
\Longrightarrow &q^2 = n^2 \cdot m^2
\end{split}
\]
da cui
\[
\begin{split}
n^3 + 3n = q^2 \iff &n^2 + 3 = n \cdot m^2\\
\Longrightarrow &n \ | \ n^2 + 3 \\
\Longrightarrow &n \ | \ 3 \\
\end{split}
\]
Quindi le uniche possibili soluzioni sono \( n = 1 \) e \( n = 3 \), e si verifica che lo sono entrambe.
Se \( n = m^2 \ne 0, \ m \geq 2 \):
\[
\begin{split}
n^3 + 3n = q^2 &\iff m^2(m^4 + 3) = q^2\\
&\iff m^4 + 3 = p^2 \\
&\iff p^2 - m^4 = 3 \\
&\iff (p + m^2)(p - m^2) = 3 \\
&\iff \begin{cases}
p+m^2 = 3\\
p-m^2 = 1
\end{cases}\\
&\iff p=2, \ m^2 = 2\\
\end{split}
\]
Ergo, non ci sono altre soluzioni in \(\mathbb{N}\) oltre alla soluzione banale ed alle due non-banali trovate da superpippone.
Se c'è una soluzione furba, non l'ho trovata.
In realtà le soluzioni non sono solo quelle.
Hai commesso un errore quando da $n | q^2$ hai dedotto che $n^2 | q^2$.
Hai commesso un errore quando da $n | q^2$ hai dedotto che $n^2 | q^2$.
Poiché $\gcd(n,n^2+3)=\gcd(n,3)$, ci sono due casi. Se $n$ non è multiplo di $3$, allora sia $n$ che $n^2+3$ devono essere quadrati, e questo conduce alle soluzioni già determinate. Se $n=3m$, allora devono essere quadrati sia $m$ che $3m^2+1$, posto dunque $m=l^2$, ci sono da determinare le soluzioni di $3l^4+1=Q^2$, ossia $3l^4 = (Q-1)(Q+1)$. Se $Q$ è pari $(Q-1)$ e $(Q+1)$ sono coprimi, dunque sono l'uno una quarta potenza e l'altro il triplo di una quarta potenza. Ma non ci sono molte coppie di naturali siffatti che abbiano differenza $2$. Se $Q$ è dispari $l$ è pari, dunque $Q=2S+1, l=2L$ e c'è da risolvere $12 L^4 = S(S+1)$. Analogamente a prima, i numeri consecutivi $S$ e $S+1$ sono l'uno una quarta potenza e l'altro dodici volte una quarta potenza, oppure il triplo di una quarta potenza e il quadruplo di una quarta potenza. Con tanta pazienza, si verifica che gli unici $n$ per cui $n^3+3n$ è un quadrato sono $1,3,12$.
Scusate l'off topic: che bello vedere nessuno che usa Internet Explorer e così tanti che usano GNU/Linux! 
[ot]Non confondere il browser con l'OS ... 
[/ot]
[/ot]
"axpgn":
[ot]Non confondere il browser con l'OS ...
[ot]non confondo il browser con l'OS (sono abbastanza "preparato" un queste cose) , erano due constatazioni diverse.[/ot]
"Learts":
[ot]non confondo il browser con l'OS (sono abbastanza "preparato" un queste cose) , erano due constatazioni diverse.[/ot]
[ot]Oh, non lo metto in dubbio ma la frase lasciava intendere altro ...
[/ot]
Rimane sempre qualcuno che usa sVista però 
"elianto84":
... Analogamente a prima, i numeri consecutivi $S$ e $S+1$ sono l'uno una quarta potenza e l'altro dodici volte una quarta potenza, oppure il triplo di una quarta potenza e il quadruplo di una quarta potenza. Con tanta pazienza, si verifica che gli unici $n$ per cui $n^3+3n$ è un quadrato sono $1,3,12$.
Come si trovano tutti gli $S$ che soddisfano la condizione citata?
Ciao,
Andrea
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