N fattoriale

[fields1]

Un semplice esercizio di teoria dei numeri che ho inventato questa mattina.

Dimostrare che $n!$ non è mai un quadrato perfetto (ovviamente, per $n>=2$)

[giuseppe87x]

L'uguaglianza $n! =b^2$ è assurda.

Infatti è facile vedere che nella fattorizzazione prima di $n!$ esiste sicuramente un primo ad esponente dispari. Ciò significa che il numero dei fattori di $n!$ è pari. D'altra parte però sappiamo che il numero di divisori di un quadrato perfetto è sempre dispari; per il principio di fattorizzazione unica l'uguaglianza $n! =b^2$ è assurda.

[fields1]

"giuseppe87x":L'uguaglianza $n! =b^2$ è assurda.

Infatti è facile vedere che nella fattorizzazione prima di $n!$ esiste sicuramente un primo ad esponente dispari.

Si, ma è nel provare questa affermazione che consiste l'esercizio! Come lo dimostri?

[giuseppe87x]

Ricordando che tra $p$ e $2p$ c'è sempre un numero primo (essendo $p$ numero primo).
Ad esempio supponiamo che nella fattorizzazione di $n!$ ci sia un numero primo $p$; esso ha esponente $1$. Tale esponente diventa pari quando il numero verrà moltiplicato per $2p$, ma nel frattempo si sarà aggiunto un altro numero primo $q$ e così via...

[fields1]

Esatto! Un applicazione carina del teorema di Erdos. Nel concepire l'esercizio mi domandavo se è veramente necessario il teorema di Erdos, la cui dimostrazione è elementare, ma perché Erdos era un genio, non perché questo risultato sia elementare! La dimostrazione originaria, da parte di un altro famoso matematico, era molto complicata..

[giuseppe87x]

Tra l'altro mi pare che Erdos dimostrò questo teorema a diciotto anni...

[laura.todisco]

E la sapete quella di Gauss a 7 anni?

[eugenio.amitrano]

Parli dell'aneddoto sulla somma dei numeri da 1 a 100 ?

[laura.todisco]

Si! Mi sbriciolai sulla sedia quando ce la raccontò il Prof!

[Sk_Anonymous]

qual'è...raccontate....

[spassky]

Gauss aveva sette anni e il prof di matematica, visto che facevano casino e non voleva esser disturbato, ordinò alla classe di fare la somma dei numeri da 1 a 100, sperando di tenerli buoni per qualche oretta.
Il buon Gauss, però "fece fesso" il professore inventandosi un metodo generale per sommare i numeri da 1 a n e trovando che da 1 a 100 erano 5050.

$sum_(i=0)^n i = (n*(n+1))/2 $

La dimostrazione è banale e si fa per induzione.

[Sk_Anonymous]

wow

[carlo232]

"giuseppe87x":Ricordando che tra $p$ e $2p$ c'è sempre un numero primo (essendo $p$ numero primo).
Ad esempio supponiamo che nella fattorizzazione di $n!$ ci sia un numero primo $p$; esso ha esponente $1$. Tale esponente diventa pari quando il numero verrà moltiplicato per $2p$, ma nel frattempo si sarà aggiunto un altro numero primo $q$ e così via...

è interessante notare che per risolvere il nostro problema del fattoriale è sufficiente la forma molto più debole

tra $n$ e $n^2$ c'è sempre un numero primo, per $n>=2$

infatti sia $p_k$ il più grande primo minore di $n$ allora $p_k^2>p_(k+1)>n$ e quindi $p||n!$ ovvero $p$ divide $n!$ solo una volta.

[fields1]

"carlo23":
è interessante notare che per risolvere il nostro problema del fattoriale è sufficiente la forma molto più debole

tra $n$ e $n^2$ c'è sempre un numero primo, per $n>=2$

infatti sia $p_k$ il più grande primo minore di $n$ allora $p_k^2>p_(k+1)>n$ e quindi $p||n!$ ovvero $p$ divide $n!$ solo una volta.

Non mi sembra, carlo23, che basti. Infatti, per dimostrare che $p_k$ divide $n!$ una sola volta devi dimostrare certamente che $2p_k>n$, non basta che $p_k^2>n$.