\(n! = d_1+...+d_n\)

[xXStephXx]

Dimostrare che ogni \(\displaystyle n! \) con \(\displaystyle n\geq 3 \) può essere espresso come somma di n dei suoi divisori distinti.

[robbstark1]

Ci provo cosi':

$n! =(n-2)! * n(n-1) = (n-2)! * (2+4+6+...+(2n-2))=$
$=(n-2)! * (2+1+3+6+...+(2n-2))$

[luluemicia]

ma gli addendi usati non sono suoi divisori

[xXStephXx]

Già, però ti sei avvicinato. L'idea di spezzare un addendo per ottenere un addendo in più va sfruttata.
Prova a ragionare per induzione partendo dal caso \(\displaystyle n=3 \)

[milizia96]

Ci provo io.

Passo base $n = 3$
$3! = 3 * 2 * 1 = 6$
$3+2+1=6$

Passo induttivo
per ipotesi abbiamo che $n! = d_1+d_2+...+d_n$,
anzi ancora meglio $n! = d_1+d_2+...+d_{n-1}+1$
(l'ultimo addendo è uguale a 1)

$(n+1)! = (n+1) * n! =$
$= (n+1) * (d_1 + d_2 + ... + d_{n-1} + 1) =$
$= d_1(n+1) + d_2(n+1) + .. + d_{n-1}(n+1) + n + 1$
abbiamo in tutto $n+1$ addendi, e sappiamo per certo che ognuno di essi è divisore di $(n+1)!$. Inoltre l'ultimo addendo rimane sempre uguale a 1.

[xXStephXx]

Ok va bene