Miscellanea

[G.D.5]

salve ragazzi

ho un libro con un'antologia dei quesiti delle olimpiadi della matematica fino al 1994...c'è una sezione del libro che viene intitolata miscellanea dove ci sono i problemi ma non le soluzioni ne l'anno a cui il problema fa riferimento

ho cominciato a farli e al quarto già mi sono bloccato

il testo del problema è:

si trovi il massimo comun divisore di tutti i numeri interi di 6 cifre costituiti ripetendo un numero di 3 cifre, come ad esempio 12123 o 469469.


detto ciò non so dove mettere mano

[Steven11]

Puoi iniziare a osservare che tutti i numeri scritti in questo modo sono divisibili per 1001.
Infatti ad esempio
$469469=469000+469=469(1000+1)=469*1001$
In generale,
$abcabc=abc000+abc=abc*1000+abc=abc(1000+1)$

A questo punto il gioco è presto fatto

Ciao

[G.D.5]

quindi la risposta è $1001$?

e i vari $abc$: voglio dire nella fattorizzazione di questi non può saltare fouori un altro fattore con cui moltiplicare $1001$ per avere il M.C.D.?

grazie, ciao

[fields1]

"WiZaRd":c'è una sezione del libro che viene intitolata miscellanea dove ci sono i problemi ma non le soluzioni ne l'anno a cui il problema fa riferimento

Non c'è l'anno semplicemente perché il tuo problema non è un IMO

[Steven11]

"WiZaRd":quindi la risposta è $1001$?

e i vari $abc$: voglio dire nella fattorizzazione di questi non può saltare fouori un altro fattore con cui moltiplicare $1001$ per avere il M.C.D.?

grazie, ciao

Si certo, può capitare.
Però il testo del problema parla di tre numeri qualsiasi, quindi non possiamo fare previsioni che vanno oltre il $1001$.
Ciao

[exodd]

e comunque è 1001
basta una semplice prova:
un numero qualsiasi $abcabc=(abc)1001$
se prendiamo invece $abd=abc+1$
sarà sempre $abdabd=(abd)1001$
visto che $abc$ e $abd$ sono primi tra loro la soluzione è 1001

[G.D.5]

ok...grazie a tutti