Mille a pezzi

[angus89]

[size=150]Mille a pezzi[/size]

Dividere 1.000 in due parti tali che una parte sia un multiplo di 19 e l’altra di 47.

[elgiovo]

Si tratta di risolvere l'equazione diofantea
di primo grado non omogenea $47x+19y=1000$.
Poichè $mcd(47,19)|1000$, l'equazione ammette
soluzioni. Tramite l'algoritmo di Euclide "rovesciato"
troviamo due numeri $h$ e $k$ tali che $47h+19k=mcd(47,19)=1$:
$47=2cdot19+9$
$19=2cdot9+1$
$9=1cdot9+0$.
Quindi i resti sono
$9=47-2cdot19$
$1=19-2cdot9$
Sostituendo $9$ con $47-2cdot19$
nella seconda equazione si ottiene
$1=-2cdot47+5cdot19$, quindi $h=-2$, $k=5$.
Ora, la soluzione generale della diofantea è
${(x=-2cdot1000+19n),(y=5cdot1000-47n):}$
al variare di $n$ in $ZZ$. Per trovare la soluzione
positiva imponiamo che $0,
ovvero $0<-2cdot1000+19n<100$,
da cui $2000/19.
Assegnando ad $n$ il valore $106$,
si ha la soluzione $(14,18)$.
Infatti $1000=14cdot47+18cdot19$.

[TomSawyer1]

Un altro metodo (forse un po' piu' comodo).

Prendendo il modulo $19$ della diofantea, si ha $47x\equiv 9x \equiv 1000 \equiv 12 (\mod19)$. Moltiplicando tutto per l'inverso di $9$ modulo $19$ ($17$), si ha $x\equiv 17*12 \equiv 14 (\mod19)$. Quindi $x=14+19k$. E la scomposizione e' $14*47+18*19=1000$.

[Bruno13]

Con un po' di osservazione, qualche
pensiero in libertà e un pizzico di
fortuna, a me è capitato di vederla
così.

470 è un multiplo di 47 minore di 500.
Allora cerco anche un multiplo di 19
minore 500 e vedo che differenza vien
fuori: 1000-(47·10+19·26) = 36.
Questo è il pensiero in libertà.

Riconosco quindi che 47-19·2 = 9 e
perciò 47·4-19·8 = 36.
Queste, invece, sono la fortuna e
l'osservazione.

Dunque:

47·10+19·26+47·4-19·8 = 47·14+19·18 = 1000.

Conoscendo la forma delle soluzioni
delle equazioni lineari diofantee,
capisco subito che è l'unica soluzione
positiva del problema.