Mettetevi alla prova
Determinare tutti gli interi positivi m per i quali sia (2*5^m+10)/(3^m+1) che
(9^m+1)/(5^m+5) sono interi.
SUGGERIMENTO: Il risultato è un solo numero m
(9^m+1)/(5^m+5) sono interi.
SUGGERIMENTO: Il risultato è un solo numero m
Risposte
benvenuto nel forum.
prima di andare avanti, metto il simbolo di dollaro nelle tue formule (togliendo altre tabulazioni), così ci saprai dire se sono esatte.
ciao.
prima di andare avanti, metto il simbolo di dollaro nelle tue formule (togliendo altre tabulazioni), così ci saprai dire se sono esatte.
"Keccogrin":
Determinare tutti gli interi positivi m per i quali sia $(2*5^m+10)/(3^m+1)$ che
$(9^m+1)/(5^m+5)$ sono interi.
SUGGERIMENTO: Il risultato è un solo numero m
ciao.
@ Titania
Non l'ho dimostrato ma posso provarci... (domani, magari, ora è un po' tardi 
)
Ovviamente anche a me sembrava abbastanza banale, ma Keccogrin parlava di una sola soluzione, quindi non mi sono neanche posta il problema!
)Ovviamente anche a me sembrava abbastanza banale, ma Keccogrin parlava di una sola soluzione, quindi non mi sono neanche posta il problema!
Titania, risposta esatta! m=1 è la soluzione ma voi sareste in grado di dimostrarlo?
Io ho provato a dimostrarlo:
trovare $m in NN_0$ $/$ $\{((2*5^m + 10)/(3^m + 1)=p),((9^m + 1)/(5^m + 5)=q):}$ con $p,q in ZZ$
osservando che $2*5^m + 10=2(5^m + 5)$ e che $9^m=3^(2m)$ si ottiene sostituendo
$(3^2m + 1)/(3^m + 1)=pq$ si pone $3^m=x$ e $pq=n in ZZ$
$(x^2 + 1)/(x+1)=n$ da cui $2x^2 -nx +2 - n=0$ quindi $x=n/4$ $\pm$ $(sqrt(n^2 + 8n - 16))/4$
quindi $n^2 + 8n -16>0$ e $n<-10$ $vv$ $n>1$
ma affinchè $EE$ $x=3^m$ $in$ $NN_0$ deve essere $n^2 +8n - 16=c^2$ con $c$ $in$ $NN$ (per la risoluzione di questa equazione ho cercato aiuto nella sezione "Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta" con la voce "Ottenere un quadrato perfetto", spero che non venga considerato multi-posting, ma non credo...) comunque:
$(n+4)^2 -c^2= 32$ ha come condizioni $-21
si provano questi valori di n in $(n+4)^2 -32$ e quando si trova un quadrato, si ottiene un valore soluzione di n
si trovano quattro valori: $-13,-10,2,5$
si calcola allora poi $3^m=$$n/4$ $\pm$ $(sqrt(n^2 + 8n - 16))/4$
e si ottiene che l'unico valore di n che rende possibile trovare un valore di $m$ che sia $m$$in$$NN_0$ è $n=5$, prendendo poi il segno $+$ nel $\pm$ quindi si ottiene che $EE!$$m=1$ possibile soluzione del problema.
si sostituisce nel sistema di origine e si verifica che è effettivamente soluzione, ed è anche l'unica come appena osservato.
OSSERVAZIONE si ottiene $p=5$ e $q=1$ quindi come ci si aspettava $n=pq=5$
trovare $m in NN_0$ $/$ $\{((2*5^m + 10)/(3^m + 1)=p),((9^m + 1)/(5^m + 5)=q):}$ con $p,q in ZZ$
osservando che $2*5^m + 10=2(5^m + 5)$ e che $9^m=3^(2m)$ si ottiene sostituendo
$(3^2m + 1)/(3^m + 1)=pq$ si pone $3^m=x$ e $pq=n in ZZ$
$(x^2 + 1)/(x+1)=n$ da cui $2x^2 -nx +2 - n=0$ quindi $x=n/4$ $\pm$ $(sqrt(n^2 + 8n - 16))/4$
quindi $n^2 + 8n -16>0$ e $n<-10$ $vv$ $n>1$
ma affinchè $EE$ $x=3^m$ $in$ $NN_0$ deve essere $n^2 +8n - 16=c^2$ con $c$ $in$ $NN$ (per la risoluzione di questa equazione ho cercato aiuto nella sezione "Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta" con la voce "Ottenere un quadrato perfetto", spero che non venga considerato multi-posting, ma non credo...) comunque:
$(n+4)^2 -c^2= 32$ ha come condizioni $-21
si provano questi valori di n in $(n+4)^2 -32$ e quando si trova un quadrato, si ottiene un valore soluzione di n
si trovano quattro valori: $-13,-10,2,5$
si calcola allora poi $3^m=$$n/4$ $\pm$ $(sqrt(n^2 + 8n - 16))/4$
e si ottiene che l'unico valore di n che rende possibile trovare un valore di $m$ che sia $m$$in$$NN_0$ è $n=5$, prendendo poi il segno $+$ nel $\pm$ quindi si ottiene che $EE!$$m=1$ possibile soluzione del problema.
si sostituisce nel sistema di origine e si verifica che è effettivamente soluzione, ed è anche l'unica come appena osservato.
OSSERVAZIONE si ottiene $p=5$ e $q=1$ quindi come ci si aspettava $n=pq=5$
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