MCD
Quale il massimo comun divisore di 111111111 e 111...111 (dove compaiono 111111111 cifre 1).
Ciao!
Ciao!
Risposte
"keji":
la tua risoluzione?
Io ho provato soltanto che $R_n$ è divisibile per $R_k$. Poi una dimostrazione rigorosa che porti al massimo comun divisore di $R_n$ e $R_k$ non l'ho trovata. Poi sinceramente non credo che il problema sia banale. Aspetto il parere di Carlo!
10^[10^9-1]/9 divisibile per 10^9-1/9=111111111
MCD(A*B,B)=B
MCD(A*B,B)=B
speriamo si faccia vivo... 
"keji":
speriamo si faccia vivo...
A quest'ora è difficile. Sicuramente domani ci farà sapere.
Scusate chi aspettate si faccia vivo?
"ottusangolo":
Scusate chi aspettate si faccia vivo?
Carlo23, l'autore del quesito!
Forse mi sono perso qualcosa ma stavo verificando la proprietà dei numeri di repunit che ci interessa.Il problema credo sia risolto ;cosa non torna nel mio primo post?
Correggo penultimo!
O.k, siete andati a letto o non mi sono spiegato.Ripeto;
Se si cerca il MCD tra 111111111 e il numero dato che se non sbaglio a contare le cifre si scrive come
$ {10^[(10^9-1)/9]-1}/9}=N$
essendo questo un numero di repunit e guarda caso
$ (10^9-1)/9=111111111=n$, risulta divisibile per n stesso. Dunque N=kn
Ma MCD( kn,n)=n
Correggo penultimo!
O.k, siete andati a letto o non mi sono spiegato.Ripeto;
Se si cerca il MCD tra 111111111 e il numero dato che se non sbaglio a contare le cifre si scrive come
$ {10^[(10^9-1)/9]-1}/9}=N$
essendo questo un numero di repunit e guarda caso
$ (10^9-1)/9=111111111=n$, risulta divisibile per n stesso. Dunque N=kn
Ma MCD( kn,n)=n
SCUSATE 
Pensavo una cosa e ne ho scritta un'altra. Volevo dire:
n=111111111=10^9-1/9=R(9)
N=1111....1111=10^R(9)-1/9=R(R(9))
Allora poichè 9 divide R(9)
R(9) divide R(R(9))
cioè N=kn
ma MCD(kn,n)=n
Insomma praticamente l'aveva risolto Leonardo.
Pensavo una cosa e ne ho scritta un'altra. Volevo dire:
n=111111111=10^9-1/9=R(9)
N=1111....1111=10^R(9)-1/9=R(R(9))
Allora poichè 9 divide R(9)
R(9) divide R(R(9))
cioè N=kn
ma MCD(kn,n)=n
Insomma praticamente l'aveva risolto Leonardo.
"ottusangolo":
SCUSATE
Pensavo una cosa e ne ho scritta un'altra. Volevo dire:
n=111111111=10^9-1/9=R(9)
N=1111....1111=10^R(9)-1/9=R(R(9))
Allora poichè 9 divide R(9)
R(9) divide R(R(9))
cioè N=kn
ma MCD(kn,n)=n
Insomma praticamente l'aveva risolto Leonardo.
Infatti io credevo (anche se non ho esplicitato) di averlo risolto. Poi bisogna vedere il responso di Carlo!
"leonardo":
Poi bisogna vedere il responso di Carlo!
Il MCD tra 111111111 e 111...111 dove appaiono 111111111 cifre 1 è 111111111.
Infatti 111111111 divide 111...111. si ha
111...111=111111111*(000000001....000000001000000001) dove il blocco di cifre 000000001 appare 12345679 volte.
Ciao!
O.K aspettiamo ma il problema é risolto 
Non con con i k,n da te indicati ma la sostanza non cambia; note le proprietà dei numeri di repunit é abbastanza semplice.
O non é vero che$N=111......11111=[(10^R(9)-1]/9]$ ove R(9)=111111111 ?
Se vero (e non credo di aver sbagliato i conti) R(9) è un divisore di R(R(9))=111......11111=N
q.e.d.
Non con con i k,n da te indicati ma la sostanza non cambia; note le proprietà dei numeri di repunit é abbastanza semplice.
O non é vero che$N=111......11111=[(10^R(9)-1]/9]$ ove R(9)=111111111 ?
Se vero (e non credo di aver sbagliato i conti) R(9) è un divisore di R(R(9))=111......11111=N
q.e.d.
"ottusangolo":
O.K aspettiamo ma il problema é risolto
Non con con i k,n da te indicati ma la sostanza non cambia; note le proprietà dei numeri di repunit é abbastanza semplice.
O non é vero che$N=111......11111=[(10^R(9)-1]/9]$ ove R(9)=111111111 ?
Se vero (e non credo di aver sbagliato i conti) R(9) è un divisore di R(R(9))=111......11111=N
q.e.d.
Intendi dire che 111111111 divide 111...111? Giusto ma orami avevo già postato la soluzione
Ciao!
Che 111111111 divida 1111.......111111 non ho dubbi,
avendolo dimostrato nei due post precedenti , ma la risposta di Carlo , arrivata mentre scrivevo l'ultimo post in risposta all'attesa di leonardo , mica l'ho capita ?
Che numero é 0000100000..... un codice binario? E * non é la moltiplicazione?
avendolo dimostrato nei due post precedenti , ma la risposta di Carlo , arrivata mentre scrivevo l'ultimo post in risposta all'attesa di leonardo , mica l'ho capita ?
Che numero é 0000100000..... un codice binario? E * non é la moltiplicazione?
Preciso che il mio primo post che risolve rigorosamente il problema è delle ore 11:49:24
quindi precedente alla risposta di Carlo. PREGO LEONARDO DI VERIFICARE!
quindi precedente alla risposta di Carlo. PREGO LEONARDO DI VERIFICARE!
"ottusangolo":
Preciso che il mil primo post che risolve rigorosamente il problema è delle ore 11:49:24
quindi precedente alla risposta di Carlo. PREGO LEONARDO DI VERIFICARE!
Allora ho preso un abbaglio
Scusami
O.K, Carlo, capita;e scusa se sono stato brusco. 
Pensavo ci fosse della ruggine per quella nostra discussione sull'idea di Gaussz di risolvere
quasi tutti i problemi con cambiamenti di coordinate. Da parte mia c'era un pizzico di polemica ma più che altro con Gaussz, che risolve (o meglio crede di risolvere ) anche i problemi più
difficili con disarmante semplicità.
Un saluto a tutti!
Pensavo ci fosse della ruggine per quella nostra discussione sull'idea di Gaussz di risolvere
quasi tutti i problemi con cambiamenti di coordinate. Da parte mia c'era un pizzico di polemica ma più che altro con Gaussz, che risolve (o meglio crede di risolvere ) anche i problemi più
difficili con disarmante semplicità.
Un saluto a tutti!
"ottusangolo":
O.K, Carlo, capita;e scusa se sono stato brusco.
Pensavo ci fosse della ruggine per quella nostra discussione sull'idea di Gaussz di risolvere
quasi tutti i problemi con cambiamenti di coordinate. Da parte mia c'era un pizzico di polemica ma più che altro con Gaussz, che risolve (o meglio crede di risolvere ) anche i problemi più
difficili con disarmante semplicità.
Un saluto a tutti!
Ma si non ti preoccupare.
...ma basta applicare il lemma di Knuth, mon Dieu...
Se non ricordo male il lemma di Knuth è: $AA a in ZZ, mcd(a^m-1,a^n-1)=a^(mcd(m,n))-1$ con $m,n in NN$
Ja! E v'è pure una versione generalizzazione, per cui è stabilito che, comunque scelti $a, b \in \mathbb{Z}$ tali che $\gcd(a,b) = 1$ e per ogni $m, n \in \mathbb{N}$: $\gcd(a^m - b^m, a^n - b^n) = a^{\gcd(m,n)} - b^{\gcd(m,n)}$. So fine...
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