Mango

[axpgn]

Una notte tre monelli rubarono da un giardino un cesto pieno di frutti di mango, nascosero il bottino e andarono a dormire; da una rapida occhiata stabilirono che erano meno di cento.
Nel prosieguo della nottata uno dei ragazzi si svegliò, tornò al nascondiglio, mangiò un mango e si porto via un terzo dei rimanenti (che era divisibile per tre), nascondendoli da un'altra parte e si rimise a dormire.
Poco più tardi anche un secondo ragazzo fece lo stesso: si svegliò, andò al nascondiglio, mangiò un frutto, prese un terzo dei rimanenti, li nascose da un'altra parte e tornò a dormire.
Infine, pure il terzo si comportò allo stesso modo.
Al mattino seguente, contando ciò che era rimasto si accorsero che era ancora possibile compiere le medesime operazioni: togliendo un frutto era possibile dividere la quantità restante in tre parti uguali.
Quanti frutti di mango c'erano inizialmente nel cesto?

Cordialmente, Alex

[nino_12]

$ 79 $

[Brancaleone1]

Buongiorno

Il problema può essere risolto attraverso un sistema:

\[\left\{ \begin{array}{l}
a - 1 - \frac{{a - 1}}{3} = b\\
b - 1 - \frac{{b - 1}}{3} = c\\
c - 1 - \frac{{c - 1}}{3} = d\\
d - 1 - \frac{{d - 1}}{3} = e\\
e\bmod 3 = 0
\end{array} \right.\]

ossia

\[\left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{3b + 4}}{2}\\
b = \frac{{3c + 4}}{2}\\
c = \frac{{3d + 4}}{2}\\
d = \frac{{3e + 4}}{2}\\
e\bmod 3 = 0
\end{array} \right.\]

Poiché tutte le incognite sono numeri naturali e dato che l'unico multiplo di $3$ che soddisfa la condizione $a<100$ è $e=12$, ne deriva che il numero dei frutti iniziali ammontava ad $a=77$.

EDIT:
Ho riletto meglio l'ultima parte del problema: non è richiesto che la quantità finale $e$ sia divisibile per $3$, ma solo la parte rimanente $d-1$. In ogni caso, l'unico numero naturale $e$ che soddisfa la condizione $a<100$ continua ad essere $12$

[axpgn]

@nino

Ok



@Brancaleone

Eh no, non va bene ...

[Brancaleone1]

"axpgn":
@Brancaleone

Eh no, non va bene ...

D'oh! Ho sbagliato a riscrivere il secondo sistema!

\[\left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{3b + 2}}{2}\\
b = \frac{{3c + 2}}{2}\\
c = \frac{{3d + 2}}{2}\\
d = \frac{{3e + 2}}{2}
\end{array} \right.\]

L'unico $e$ che permette di ottenere tutti numeri naturali con $a<100$ è $14$, e la soluzione è $a=79$.

NB. Avrei dovuto accorgermi subito che $77$ non era giusto: è immediato che $77-1=76$ non è divisibile per $3$...

[axpgn]

[milizia96]

Se i manghi iniziali sono $x-2$, allora dopo che il primo bambino ha agito ne rimangono $\frac{2}{3} x -2$.
In pratica il coefficiente della $x$ viene moltiplicato per $\frac{2}{3}$.
Quindi, facendo l'operazione per quattro volte rimangono $\frac{16}{81}x - 2$ manghi.
Ciò vuol dire che $x$ deve essere multiplo di $81$.
E si ottiene quindi la risposta: $81 - 2 = 79$.