M-is in $ZZ^n$
Secondo voi quanti simboli bisogna mettere in fila in uno spazio n-dimensionale?
Intanto diciamo cosa vuol dire che tre o piú simboli sono "in fila":
1)
Supponiamo all'inizio di giocare su $ZZ$. Sono sicuramente vinti i casi 1-is e 2-is (metterne una o due in fila); ma già ci accorgiamo che, a gioco corretto, è impossibile fare tris (3-is).
2)
Mettiamoci ora su $ZZ^2$. Questo caso è meno banale del precedente, quindi parlo per esperienza di gioco:
fino al 4-is è vinto per chi parte; il 5-is sembra giocabile, ma sinceramente non so se è vinto o se è un pareggio (le partite che ho fatto sono sempre finite con la vittoria di uno dei due, ma non sempre di chi parte). Da 6 in poi non ho mai provato, ma "ad occhio" direi che è pareggio.
Secondo voi qual è il valore massimo di $m$, affinchè m-is sia vinto in uno spazio n-dimensionale?
...io a guardare solo i casi $ZZ$ e $ZZ^2$ direi $m=3n-1$, ma è puramente una congettura...
A voi.
Intanto diciamo cosa vuol dire che tre o piú simboli sono "in fila":
Fissato un estremo (diciamo il primo simbolo) di coordinate $(a_1,...a_n)$, per ottenere le componenti delle coordinate dei simboli successivi posso: tenere fissa una componente oppure aumentarla/diminuirla progressivamente di 1.
1)
Supponiamo all'inizio di giocare su $ZZ$. Sono sicuramente vinti i casi 1-is e 2-is (metterne una o due in fila); ma già ci accorgiamo che, a gioco corretto, è impossibile fare tris (3-is).
2)
Mettiamoci ora su $ZZ^2$. Questo caso è meno banale del precedente, quindi parlo per esperienza di gioco:
fino al 4-is è vinto per chi parte; il 5-is sembra giocabile, ma sinceramente non so se è vinto o se è un pareggio (le partite che ho fatto sono sempre finite con la vittoria di uno dei due, ma non sempre di chi parte). Da 6 in poi non ho mai provato, ma "ad occhio" direi che è pareggio.
Secondo voi qual è il valore massimo di $m$, affinchè m-is sia vinto in uno spazio n-dimensionale?
...io a guardare solo i casi $ZZ$ e $ZZ^2$ direi $m=3n-1$, ma è puramente una congettura...
A voi.
Risposte
@kobe: personalmente, non ho capito niente di ciò che si dovrebbe fare 
1) Già la definizione che hai dato è poco chiara: stando ad essa, il simbolo successivo può coincidere col precedente, o può differire dal precedente in \(k\leq n\) componenti (di \(\pm 1\)). E' così?
2) Parli di "gioco", ma non mi sembra tu abbia scritto quali siano le regole di questo gioco.
1) Già la definizione che hai dato è poco chiara: stando ad essa, il simbolo successivo può coincidere col precedente, o può differire dal precedente in \(k\leq n\) componenti (di \(\pm 1\)). E' così?
2) Parli di "gioco", ma non mi sembra tu abbia scritto quali siano le regole di questo gioco.
Credo intenda una generalizzazione in qualsiasi dimensione e per qualsiasi lunghezza del classico tris (l'inglese tic-tac-toe)
Se non ho capito male vuole sapere per quale valore di $m$ il gioco dell' $m-is$, che credo sia una generalizzazione del gioco del tris, esiste una strategia dominante che porta il primo che gioca a vincere sempre.
@rigel
Sì, scusa. Forse sono stato poco chiaro.
@alex @dan
Sì. È una generalizzazione del tris, su più dimensioni. Voglio capire qual è il numero massimo di pedine che il primo giocatore riesce sempre a mettere in fila. Nel caso di $ZZ$ è 2, con 3 pareggio sicuro; in $ZZ^2$ 4 sicure, forse 5 e non credo di più.
...
Per quanto riguarda gli m-is fattibili, sono quelli immediati (penso), ad esempio in $ZZ^4$:
(a,b,c,d);(a+1,b,c-1,d+1);(a+2,b,c-2,d+2);(a+3,b,c-3,d+3)
questo è un 4-is
Se una coordinata aumenta (diminuisce) di uno, allora deve continuare a farlo; altrimenti rimane costante. Ma ovviamemte non puó prima aumentare e poi diminuire tipo così:
(a,b,c);(a,b+1,c+1);(a,b+2,c+2);(a,b+3,c+1)
Spero di essere stato un po' più chiaro ora
Sì, scusa. Forse sono stato poco chiaro.
@alex @dan
Sì. È una generalizzazione del tris, su più dimensioni. Voglio capire qual è il numero massimo di pedine che il primo giocatore riesce sempre a mettere in fila. Nel caso di $ZZ$ è 2, con 3 pareggio sicuro; in $ZZ^2$ 4 sicure, forse 5 e non credo di più.
...
Per quanto riguarda gli m-is fattibili, sono quelli immediati (penso), ad esempio in $ZZ^4$:
(a,b,c,d);(a+1,b,c-1,d+1);(a+2,b,c-2,d+2);(a+3,b,c-3,d+3)
questo è un 4-is
Se una coordinata aumenta (diminuisce) di uno, allora deve continuare a farlo; altrimenti rimane costante. Ma ovviamemte non puó prima aumentare e poi diminuire tipo così:
(a,b,c);(a,b+1,c+1);(a,b+2,c+2);(a,b+3,c+1)
Spero di essere stato un po' più chiaro ora
In attesa di una risposta propongo un giochino, in tema però ... 
Una variante al classico tris è la seguente: ciascuno dei due giocatori ha tre pedine che depone sul "terreno di gioco", se nessuno ha vinto (come è logico che sia) proseguono spostando una pedina a turno in una casella adiacente purché libera.
Chi vince? Il primo che parte, il secondo oppure nessuno dei due? Ovviamente ciascuno dei due attuerà la migliore strategia possibile ...
Cordialmente, Alex
P.S.: pare che già Ovidio abbia citato un gioco simile nelle sue opere come pure Shakespeare nel "Sogno di una notte di mezza estate" quando parla di "Nine Men's Morris" ...
Una variante al classico tris è la seguente: ciascuno dei due giocatori ha tre pedine che depone sul "terreno di gioco", se nessuno ha vinto (come è logico che sia) proseguono spostando una pedina a turno in una casella adiacente purché libera.
Chi vince? Il primo che parte, il secondo oppure nessuno dei due? Ovviamente ciascuno dei due attuerà la migliore strategia possibile ...
Cordialmente, Alex
P.S.: pare che già Ovidio abbia citato un gioco simile nelle sue opere come pure Shakespeare nel "Sogno di una notte di mezza estate" quando parla di "Nine Men's Morris" ...
ad occhio (ma ci devo pensare bene) direi il secondo
@kobe
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